Дисперсия Коэна статистики

Коэна является одним из наиболее распространенных способов измерения размера эффекта ( см. Википедия ). Он просто измеряет расстояние между двумя средними значениями в единицах стандартного отклонения. Как мы можем получить математическую формулу оценки дисперсии Коэна ? $d$$d$

Декабрь 2015 г. edit: С этим вопросом связана идея вычисления доверительных интервалов вокруг . В этой статье говорится, что$d$

$$\sigma_{d}^2 = \dfrac{n_{+}}{n_{\times}} + \dfrac{d^2}{2n_{+}}$$

где - сумма двух размеров выборки, а - произведение двух размеров выборки.$n_{+}$$n_{\times}$

Как получается эта формула?

Обратите внимание, что выражение дисперсии в вопросе является приближенным. Хеджес (1981) вывел большую выборочную дисперсию и аппроксимации в общей обстановке (т. Е. Множественные эксперименты / исследования), и мой ответ в значительной степени идет по выводам в статье.$d$

Во-первых, мы будем использовать следующие предположения:

Давайте предположим, что у нас есть две независимые группы лечения, (лечение) и (контроль). Пусть и будут баллами / ответами / кем бы то ни было от субъекта в группе и субъекта в группе соответственно.C Y T i Y C j i T j $T$$C$$Y_{Ti}$$Y_{Cj}$$i$$T$$j$$C$

Мы предполагаем, что ответы обычно распределены, а группы лечения и контроля имеют общую разницу, т.е.

$$\begin{align*} Y_{Ti} &\sim N(\mu_T, \sigma^2), \quad i = 1, \dots n_T \\ Y_{Cj} &\sim N(\mu_C, \sigma^2), \quad j = 1, \dots n_C \end{align*}$$

Размер эффекта, который мы хотим оценить в каждом исследовании, равен . Оценка размера эффекта, который мы будем использовать: где - несмещенная выборочная дисперсия для группы . д= ˉ Y T- ˉ Y$\delta = \frac{\mu_T - \mu_C}{\sigma}$ S2k

$$\begin{equation*} d = \frac{\bar{Y}_T - \bar{Y}_C}{\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{n_T + n_C - 2}}} \end{equation*}$$ $S_k^2$$k$

Давайте рассмотрим свойства большой выборки . $d$

Во-первых, обратите внимание: и (не совпадают с моими обозначениями): и

$$\begin{equation*} \bar{Y}_T - \bar{Y}_C \sim N \Bigg( \mu_T - \mu_C, \,\sigma^2\frac{n_T + n_C}{n_T n_C} \Bigg) \end{equation*}$$ $$\begin{equation} \frac{(n_T - 1)S_T^{2}}{\sigma^2(n_T + n_C - 2)} = \frac{1}{n_T + n_C - 2}\frac{(n_T - 1)S_T^{2}}{\sigma^2} \sim \frac{1}{n_T + n_C- 2}\chi_{n_T - 1}^2 \tag{1} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \frac{(n_C - 1)S_C^{2}}{\sigma^2(n_T + n_C - 2)} = \frac{1}{n_T + n_C - 2}\frac{(n_C - 1)S_C^{2}}{\sigma^2} \sim \frac{1}{n_T + n_C- 2}\chi_{n_C - 1}^2 \tag{2} \end{equation}$$

Уравнения (1) и (2) приводят к тому, что (опять же, с моими обозначениями):

$$\begin{equation*} \frac{1}{\sigma^2}\frac{(n_T - 1)S_T^{2} + (n_C - 1)S_C^{2}}{n_T + n_C - 2} \sim \frac{1}{n_T + n_C - 2}\chi_{n_T + n_C - 2}^2 \end{equation*}$$

Теперь немного умной алгебры: где

$$\begin{align*} d &= \frac{\bar{Y}_T - \bar{Y}_C}{\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{n_T + n_C - 2}}} \\\\ &= \frac{\left(\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\right)^{-1}(\bar{Y}_T - \bar{Y}_C)}{\left(\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\right)^{-1}\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{n_T + n_C - 2}}} \\\\ &= \frac{\frac{(\bar{Y}_T - \bar{Y}_C) - (\mu_T - \mu_C)}{\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}} + \frac{\mu_T - \mu_C}{\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}}}{\left(\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\right)^{-1}\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{\sigma^2(n_T + n_C - 2)}}} \\\\ &= \sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\left(\frac{\theta + \delta\sqrt{\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}}}{\sqrt{\frac{V}{\nu}}}\right) \end{align*}$$ $\theta \sim N(0,1)$, и . Таким образом, равно раз переменной, которая следует за нецентральным t-распределением с степенями свободы и параметром нецентральности .$V \sim \chi^2_{\nu}$$\nu = n_T+n_C-2$$d$$\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}$$n_T + n_C - 2$$\delta\sqrt{\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}}$

Используя моментные свойства нецентрального распределения$t$ , следует: где

$$\begin{equation*} \mathrm{Var}(d) = \frac{(n_T + n_C - 2)}{(n_T + n_C - 4)}\frac{(n_T + n_C)}{n_T n_C}(1+ \delta^2\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}) - \frac{\delta^2}{b^2} \tag{3} \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} b = \frac{\Gamma\left(\frac{n_T + n_C - 2}{2}\right)}{\sqrt{\frac{n_T+n_C-2}{2}}\Gamma\left(\frac{n_T+n_C-3}{2}\right)} \approx 1 - \frac{3}{4(n_T+n_C-2)-1} \end{equation*}$$

Таким образом, уравнение (3) обеспечивает точную дисперсию большой выборки. Обратите внимание, что несмещенной оценкой для является с дисперсией:$\delta$$b d$

$$\begin{equation*} \mathrm{Var}(bd) = b^2\frac{(n_T + n_C - 2)}{(n_T + n_C - 4)}\frac{(n_T + n_C)}{n_T n_C}(1+ \delta^2\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}) - \delta^2 \end{equation*}$$

Для больших степеней свободы (т.е. больших ) дисперсия нецентрального изменяющегося с степенями свободы и параметром нецентральности может быть аппроксимирована как ( Джонсон, Коц, Балакришнан, 1995 ). Таким образом, мы имеем: $n_T+n_C-2$$t$$\nu$$p$$1 + \frac{p^2}{2\nu}$

$$\begin{align*} \mathrm{Var}(d) &\approx \frac{n_T + n_C}{n_T n_C}\left(1 + \frac{\delta^2\left(\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}\right)}{2(n_T+n_C-2)}\right) \\\\ &= \frac{n_T + n_C}{n_T n_C} + \frac{\delta^2}{2(n_T+n_C-2)} \end{align*}$$

Подключите наш оценщик для и все готово.$\delta$