когда непрерывная переменная

Я знаю, что для непрерывной переменной . $P[X=x]=0$

Но я не могу представить, что если , существует бесконечное количество возможных . А также почему их вероятности становятся бесконечно малыми? $P[X=x]=0$ $x$

— время
источник

возможный дубликат условной вероятности непрерывной переменной

— Сиань

Уже есть два голоса, чтобы закрыть этот вопрос как дубликат. Я не согласна Это довольно простая тема, одна из тех, которые, вероятно, появятся снова в будущем, поэтому было бы хорошо, если бы у нее был прямой и качественный ответ, чтобы мы могли обратиться к ней в будущем. Ссылка, предоставленная @ Xi'an, может быть дублирована, но она также довольно специфична, и ее трудно найти с помощью поиска. Ссылка также не дает исчерпывающего ответа, хотя эта угроза, кажется, сходится к таковой. Я думаю, что это должно быть оставлено открытым как будущая ссылка.

— Тим

Это может помочь рассмотреть обратную ситуацию. Пусть - любая случайная величина, а - любое положительное действительное число. Может быть только конечное число для которого , в противном случае - сложив все эти вероятности по непересекающимся событиям - вы бы пришли к выводу, что полная вероятность по крайней мере

, который в конечном итоге превышает

. (Это свойство Архимеда действительных чисел.) В этом рассуждении используются только три аксиомы : вероятности добавления непересекающихся событий, общая вероятность равна

, и аксиома Архимеда.

X

$X$

ϵ

$\epsilon$

ω

$\omega$

Pr (X = ω) \geq ϵ

$\Pr(X=\omega)\ge\epsilon$

ϵ + ϵ + \dots

$\epsilon+\epsilon+\cdots$

1

$1$

1

$1$

— whuber

@ Тим Спасибо, но я отправил эту мысль как комментарий, а не ответ, потому что это неполное: Я не понял, элементарный способ объяснить , что происходит в пределе

ϵ \to 0

$\epsilon\to 0$ . Кажется, требуется знание кардинальности бесконечных множеств.

— whuber

@ Сиань Я согласен, но предложенная вами тема не является достаточно близким дубликатом. Это сложная вещь для поиска. Возможно, вам известны другие темы, дублирующие этот вопрос?

— whuber

Ответы:

Вероятности являются моделями для относительных частот наблюдений. Если событие наблюдается, имели место раз на испытаний, то его относительная частота , и это , как правило , полагают , что численное значение вышеупомянутое соотношение является близким приближением к когда является «большим», где то, что подразумевается под «большим», лучше всего оставить воображению (и доверчивости) читателя. $A$ $N_A$ $N$

relative frequency of (A) = \frac{N_{A}}{N}

$\text{relative frequency of }(A) = \frac{N_A}{N}$

P (A)

$P(A)$ $N$

Теперь было замечено, что если наша модель представляет собой модель непрерывной случайной величины, то выборки являются различными числами. Таким образом, относительная частота определенного числа (или, более педантично, события ) равна либо если один из имеет значение , либо если все различны из . Если более скептически настроенный читатель собирает дополнительные выборок, относительная частота события либо $X$ $X$ $\{x_1, x_2, \ldots, x_N\}$ $N$ $x$ $\{X = x\}$ $\frac 1N$ $x_i$ $x$ $\frac 0N$ $x_i$ $x$ $N$ $\{X=x\}$ $\frac{1}{2N}$ или продолжает пользоваться значением . Таким образом, можно предположить, что должно быть присвоено значение поскольку это хорошее приближение к наблюдаемой относительной частоте. $\frac 0N$ $P\{X = x\}$ $0$

Примечание: приведенное выше объяснение (обычно) является удовлетворительным для инженеров и других лиц, заинтересованных в применении вероятности и статистики (т. Е. Тех, кто считает, что аксиомы вероятности были выбраны таким образом, чтобы сделать теорию хорошей моделью реальности), но совершенно неудовлетворительно для многих других. Также возможно подойти к вашему вопросу с чисто математической или статистической точки зрения и доказать, что должен иметь значение всякий раз, когда является непрерывной случайной величиной, посредством логических выводов из аксиом вероятности и без каких-либо ссылок. относительной частоте или физическим наблюдениям и т. д. $P\{X = x\}$ $0$ $X$

— Дилип Сарватэ
источник

+1 «Примечание: приведенное выше объяснение ... удовлетворительно для тех, кто считает, что аксиомы вероятности были выбраны таким образом, чтобы сделать теорию хорошей моделью реальности), но совершенно неудовлетворительно ...», в предпочитаемая формулировка интернета, лол.

— gung - Восстановить Монику

Я не понимаю , что вы имеете в виду , что было замечено , что если непрерывна, то ... $X$ . Как мы можем наблюдать это?

— Стефан Лоран

@ StéphaneLaurent Это предложение немного сложнее, поэтому его стоит перечитать. Без каких-либо замечаний в скобках говорится, что "было замечено, что ... образцы ... представляют собой различных чисел". Другими словами, когда предполагается , что имеет непрерывное распределение , то (почти наверняка) не будет никаких дубликатов в любой конечной н.о.р. выборки . Это может быть математически доказано: это не просто наблюдение.

N

$N$ $X$

X

$X$

— whuber

@ StéphaneLaurent Я думаю, что замечания Дилипа сделаны в другом духе, чем это. Этот ответ не является попыткой обеспечить математически строгую демонстрацию, но должен обеспечить некоторую интуицию и мотивацию для факта, который озадачивает ОП. Я заинтригован этим подходом, потому что у него есть такой потенциал, чтобы преодолеть разрыв между дискретной теорией вероятностей, которую традиционно преподают новичкам, и более богатой общей теорией вероятностей, основанной на теории мер.

— whuber

@whuber Я понимаю дух, но на первый взгляд я не был убежден, что свойство no-ties более интуитивно, чем свойство с нулевой вероятностью. Для это действительно одно и то же: « » .

N = 2

$N=2$

x_{2} is never x_{1}

$x_2 \text{ is never } x_1$

⟺

$\iff$

Pr (X_{2} = x_{1}) = 0

$\Pr(X_2=x_1)=0$

— Стефан Лоран

Пусть будет лежащим в основе вероятностным пространством. Мы говорим, что измеримая функция является абсолютно непрерывной случайной величиной, если мера вероятности над определена как , известная как распределение , доминирует мера Лебега в том смысле, что для каждого борелевского множества , если , то . В этом случае теорема Радона-Никодима говорит нам, что существует измеримое $(\Omega,\mathscr{F},P)$ $X:\Omega\to\mathbb{R}$ $\mu_X$ $(\mathbb{R},\mathscr{B})$ $\mu_X(B)=P\{X\in B\}$ $X$ $\lambda$ $B$ $\lambda(B)=0$ $\mu_X(B)=0$ $f_X:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , определенная до почти всюду эквивалентности, такая, что . Пусть - счетное подмножество . Поскольку счетно-аддитивно, . Но для каждого . Из-за архимедовых свойств действительных чисел, поскольку , неравенство выполняется для каждого тогда и только тогда, когда $\mu_X(B)=\int_B f(x)\,d\lambda(x)$ $B=\{x_1,x_2,\dots\}$ $\mathbb{R}$ $\lambda$ $\lambda(B)=\lambda\left(\cup_{i\geq 1}\{x_i\}\right)=\sum_{i\geq 1}\lambda(\{x_i\})$

λ ({x_{i}}) = λ (\cap_{k \geq 1} [x_{i}, x_{i} + 1 / k)) \leq λ ([x_{i}, x_{i} + 1 / n)) = \frac{1}{n}, (*)

$\lambda(\{x_i\}) = \lambda\left(\cap_{k\geq 1}[x_i,x_i+1/k)\right) \leq \lambda\left([x_i,x_i+1/n)\right) = \frac{1}{n} \, ,\qquad (*)$

n \geq 1

$n\geq 1$

λ ({x_{i}}) \geq 0

$\lambda(\{x_i\})\geq 0$

(*)

$(*)$

n \geq 1

$n\geq 1$

λ ({x_{i}}) = 0

$\lambda(\{x_i\})=0$ , в результате чего . Из предполагаемой абсолютной непрерывности следует, что .

λ (B) = 0

$\lambda(B)=0$

X

$X$

μ_{X} (B) = P {X \in B} = 0

$\mu_X(B)=P\{X\in B\}=0$

— Zen
источник

Непрерывная случайная величина не должна быть абсолютно непрерывной (она может не иметь плотности).

— Zhanxiong,

Чушь. «Непрерывная случайная величина» - это неофициальное название «случайной величины, которая является абсолютно непрерывной по отношению к мере Лебега». Следовательно, Радон-Никодим гарантирует, что плотность существует. Случайная переменная с единичным распределением (например, Кантор) - это другое. Вы вводите в заблуждение потенциальных учеников своим фиктивным комментарием.

— Дзен

Когда вы критиковали кого-то, пожалуйста, покажите ссылку, на которую вы ссылались. В каком учебнике по вероятности сказано, что «Непрерывная случайная величина» является неофициальным названием для «случайной величины, которая абсолютно непрерывна относительно меры Лебега» ? Кроме того, эту проблему можно решить, не требуя плотности , см. Мое доказательство ниже.

X

$X$

— Zhanxiong

Википедия не согласна с вами, @Solitary: « Непрерывное распределение вероятностей - это распределение вероятностей, которое имеет функцию плотности вероятности. Математики также называют такое распределение абсолютно непрерывным [...]».

— говорит амеба, восстанови Монику

$X$ непрерывная случайная величина означает, что ее функция распределения непрерывна . Это единственное условие, которое у нас есть, но из которого мы можем вывести, что . $F$ $P(X = x) = 0$

Фактически, в силу непрерывности мы имеем для каждого , поэтому: $F$ $F(x) = F(x-)$ $x \in \mathbb{R}^1$

P (X = x) = P (X \leq x) - P (X < x) = F (x) - F (x -) = 0.

$P(X = x) = P(X \leq x) - P(X < x) = F(x) - F(x-) = 0.$

— Zhanxiong
источник

Если распределение rv канторовское, то его функция распределения непрерывна, но - сингулярная случайная величина; это не непрерывная случайная величина.

X

$X$

X

$X$

— Дзен

Мой друг, это на самом деле может быть контрпримером к твоему собственному ответу, а не моему. Поскольку существование таких сингулярных непрерывных rv, необходимо различать абсолютные непрерывные rv и особые непрерывные rv, хотя все их функции распределения непрерывны. Выравнивание непрерывного rv и абсолютного непрерывного rv неоднозначно.

— Zhanxiong

Это не так, но ты не услышишь, друг мой.

— Дзен

Кстати, вы на самом деле «доказываете», что если для каждого , то для каждого .

P (X = x) = 0

$P(X=x)=0$

x

$x$

P (X = x) = 0

$P(X=x)=0$

x

$x$

— Дзен