Почти уверенная конвергенция не подразумевает полной конвергенции

Мы говорим, что $X_1, X_2, \ldots$ полностью сходятся к если для каждого . $X$ $\epsilon>0$ $\sum_{n=1}^\infty \text{P}\left(|X_n-X|>\epsilon\right) <\infty$

Лемма Бореля Кантелли прямо доказывает, что полная сходимость подразумевает почти уверенную сходимость.

Я ищу пример, где почти наверняка сходимость не может быть доказана с помощью Бореля Кантелли. Это последовательность случайных величин, которая сходится почти наверняка, но не полностью.

probability convergence

— Manuel
источник

Пусть $\Omega=(0,1)$ с борелевской сигма-алгеброй $\mathfrak{F}$ и равномерной мерой $\mu$ . определять

{Икс}_{N} (ω) знак равно 2 + (- 1)^{N} когда ω \leq 1 / N

$X_n(\omega) = 2 + (-1)^n \text{ when } \omega \le 1/n$

и противном случае. , очевидноизмеримы на вероятностном пространстве . $X_n(\omega)=0$ $X_n$ $(\Omega, \mathfrak{F}, \mu)$

фигура

Для любого и всех $\omega\in\Omega$ $N \gt 1/\omega$ случай . Таким образом, по определению, последовательность сходится к (не только почти наверняка!). $X_n(\omega)=0$ $(X_n)$ $0$

$0 \lt \epsilon \lt 1$ $\Pr(X_n\gt \epsilon) = \Pr(X_n \ne 0) = 1/n$

Σ_{N знак равно 1}^{\infty} Pr ({Икс}_{N} > ε) знак равно Σ_{N знак равно 1}^{\infty} \frac{1}{N},

$\sum_{n=1}^\infty \Pr(X_n \gt \epsilon) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n},$

который расходится до . $\infty$

— Whuber
источник

Большое спасибо!. Два комментария, есть ли причина для определения вместо ? во-вторых, это должно быть

{Икс}_{N} (ω) знак равно 2 + (- 1)^{N} когда ω \leq 1 / N

$X_n(\omega) = 2 + (-1)^n \text{ when } \omega \le 1/n$

{Икс}_{N} (ω) знак равно 1 когда ω \leq 1 / N

$X_n(\omega) = 1 \text{ when } \omega \le 1/n$

\sum Pr (X_{n} > ϵ)

$\sum\text{Pr}\left(X_n > \epsilon\right)$ ?

— Мануэль

1. Нет веских причин. Пока я обдумывал это, я использовал термин как напоминание о том, что в таких точках может не быть конвергенции. 2. Я установил опечатка, спасибо.

\pm 1

$\pm 1$

<

$\lt$

— whuber

Являются ли независимым? Они, кажется, мне, что по лемме Второй Борел Кантелли будет означать, что сходимость почти не уверен.

X_{n}

$X_n$

— Rdrr

@Rdrr Тогда у вас не должно возникнуть проблем с демонстрацией того, что не являются независимыми.

X_{n}

$X_n$

— whuber