Использование фильтров Калмана для расчета недостающих значений во временных рядах

12

Меня интересует, как фильтры Калмана могут использоваться для расчета отсутствующих значений в данных временных рядов. Это также применимо, если отсутствуют некоторые последовательные моменты времени? Я не могу найти много по этой теме. Любые объяснения, комментарии и ссылки приветствуются и приветствуются!

data-imputation kalman-filter

— GS9
источник

Вас может заинтересовать этот пост . В нем приведен пример, основанный на представлении в пространстве состояний модели ARIMA для расчета отсутствующих значений с помощью фильтра Калмана.

— Javlacalle

@javlacalle спасибо, я уже знал этот пост, и это отличный пример для конкретной реализации. Но меня скорее интересуют теоретические основы.

— GS9

9

Предварительные сведения: фильтрация Калмана :

Фильтры Калмана работают с моделями в пространстве состояний вида (есть несколько способов написать это; это простой способ, основанный на Durbin и Koopman (2012) ; все следующее основано на этой книге, что превосходно):

\begin{aligned} Y_{T} & знак равно Z α_{T} + ε_{T} & ε_{T} ~ N (0, ЧАС) \\ α_{T_{1}} & знак равно T α_{T} + η_{T} & η_{T} ~ N (0, Q) \\ α_{1} & ~ N (a_{1}, п_{1}) \end{aligned}

$\begin{align} y_t & = Z \alpha_t + \varepsilon_t \qquad & \varepsilon_t \sim N(0, H) \\ \alpha_{t_1} & = T \alpha_t + \eta_t & \eta_t \sim N(0, Q) \\ \alpha_1 & \sim N(a_1, P_1) \end{align}$

$y_t$ $\alpha_t$

$\alpha_t$ $\alpha_t$ $\alpha_t \sim N(a_t, P_t)$ $\alpha_t$ $t$

$y_t$ $\alpha_{t+1}$

\begin{aligned} a_{T + 1} & знак равно T a_{T} + К_{T} (Y_{T} - Z α_{T}) \\ п_{T + 1} & знак равно T п_{T} (T - К_{T} Z)^{'} + Q \end{aligned}

$\begin{align} a_{t+1} & = T a_t + K_t (y_t - Z \alpha_t) \\ P_{t+1} & = T P_t (T - K_t Z)' + Q \end{align}$

$K_t$

$a_{t+1}$ $P_{t+1}$ $y_t$ $y_t$

\begin{aligned} a_{T + 1} & знак равно T a_{T} \\ п_{T + 1} & знак равно T п_{T} T^{'} + Q \end{aligned}

$\begin{align} a_{t+1} & = T a_t \\ P_{t+1} & = T P_t T' + Q \end{align}$

$\alpha_t$ $\alpha_{t+1}$

$y_t$

Вменяемые данные :

$a_t, P_t$ $t = 1, 2, \dots, T$

{\hat{Y}}_{T} знак равно Z a_{T}

$\hat y_t = Z a_t$

Что касается справки, Дурбин и Купман (2012) отлично; В разделе 4.10 обсуждаются отсутствующие наблюдения.

Durbin, J. & Koopman, SJ (2012). Анализ временных рядов методами пространства состояний (№ 38). Издательство Оксфордского университета.

— cfulton
источник

Использование более плавного решения имело бы больше смысла для вменения (поскольку у каждого уже есть все (не пропущенные) данные, почему бы не использовать информацию и в будущих значениях)

— Юхо Коккала

0

Пример в публикации, на который javlacalle указывает в своем комментарии, показывает последовательные пропущенные моменты времени. Возможно, вас также заинтересуют интервалы вокруг вмененных (прогнозируемых в выборке) значений, расчеты которых приведены в данном документе State Space , в разделе 2.1.

Еще одна статья, которая может быть интересной - эта .

— Wayne
источник