Генерировать равномерно распределенные веса, которые составляют единицу?

Обычно используются веса в приложениях, таких как моделирование смесей, и для линейного объединения базисных функций. Веса часто должны подчиняться 0 и . Я бы хотел случайным образом выбрать вектор веса из равномерного распределения таких векторов.$w_i$$w_i ≥$$\sum_{i} w_i=1$$\mathbf{w} = (w_1, w_2, …)$

Может быть заманчиво использовать где U (0, 1), однако, как обсуждалось в комментариях ниже, распределение \ mathbf {w } не является равномерным.$w_i = \frac{\omega_i}{\sum_{j} \omega_j}$$\omega_i \sim$$\mathbf{w}$

Однако, учитывая ограничение $\sum_{i} w_i=1$ , кажется, что размерность проблемы лежит в $n-1$ , и что должна быть возможность выбрать $\mathbf{w}$ , выбрав $n-1$ параметров в соответствии с некоторое распределение, а затем вычисление соответствующего $\mathbf{w}$ из этих параметров (поскольку после определения $n-1$ весов оставшийся вес полностью определяется).

Проблема , как представляется, аналогична точке сферы собирания проблемы (но, а не выбирать 3-векторы, $ℓ_2$ нормы равна единица, я хочу , чтобы выбрать $n$ -векторы которых $ℓ_1$ нормы равна единица).

Благодарность!

Выберите равномерно (с помощью единичных вещественных чисел в интервале ). Сортируйте коэффициенты так, чтобы . Устанавливать n - 1 [ 0 , 1 ] 0 ≤ x 1 ≤ ⋯ ≤ x n - $\mathbf{x} \in [0,1]^{n-1}$$n-1$$[0,1]$$0 \le x_1 \le \cdots \le x_{n-1}$

Поскольку мы можем восстановить отсортированный с помощью частичных сумм , отображение равнодо 1; в частности, его образ - это симплекс в . Поскольку (a) каждый своп в сортировке является линейным преобразованием, (b) предыдущая формула является линейной, и (c) линейные преобразования сохраняют равномерность распределений, однородность подразумевает однородность на симплексе . В частности, обратите внимание, что маргиналы не обязательно независимы.w i x → w ( n - 1 ) ! n - 1 R n x w n - 1 $x_i$$w_i$$\mathbf{x} \to \mathbf{w}$$(n-1)!$$n-1$$\mathbb{R}^n$$\mathbf{x}$$\mathbf{w}$ $n-1$$\mathbf{w}$

Этот трехмерный точечный график показывает результаты 2000 итераций этого алгоритма для . Точки ограничены симплексом и приблизительно равномерно распределены по нему.$n=3$

Поскольку время выполнения этого алгоритма , оно неэффективно для больших . Но это действительно отвечает на вопрос! Лучший способ (в общем случае) генерировать равномерно распределенные значения на симплексе - нарисовать равномерных вещественных чисел на интервале , вычислитьn n - 1 n ( x 1 , … , x n ) [ 0 , 1 $O(n \log(n)) \gg O(n)$$n$$n-1$$n$$(x_1, \ldots, x_n)$$[0,1]$

(что делает каждый положительным с вероятностью , откуда их сумма почти наверняка равна нулю) и установить$y_i$$1$

Это работает, потому что у каждого есть распределение , что подразумевает, что имеет распределение Dirichlet - и это равномерно. Γ ( 1 ) w ( 1 , 1 , 1 $y_i$$\Gamma(1)$$\mathbf w$$(1,1,1)$

    zz <- c(0, log(-log(runif(n-1))))
    ezz <- exp(zz)
    w <- ezz/sum(ezz)

Первая запись обнуляется для идентификации; Вы увидите, что это делается в многочленных логистических моделях. Конечно, в полиномиальных моделях вы также будете иметь ковариаты под показателями степени, а не только случайные zzs. Распределение zzs является предельным распределением значений; это понадобится вам, чтобы убедиться, что полученные веса были вначале указаны rnormтам, но сначала я почувствовал, что это не сработает.

Решение очевидно. Следующий код MathLab дает ответ для 3 весов.

function [  ] = TESTGEN( )
SZ  = 1000;
V  = zeros (1, 3);
VS = zeros (SZ, 3);
for NIT=1:SZ   
   V(1) = rand (1,1);     % uniform generation on the range 0..1
   V(2) = rand (1,1) * (1 - V(1));
   V(3) = 1 - V(1) - V(2);  
   PERM = randperm (3);    % random permutation of values 1,2,3
   for NID=1:3
         VS (NIT, NID) = V (PERM(NID));
    end
end 
figure;
scatter3 (VS(:, 1), VS(:,2), VS (:,3));
end