Вероятность события, которое не поддается измерению

Из теории меры мы знаем, что есть события, которые нельзя измерить, т. Е. Они не измеримы по Лебегу. Что мы называем событием с вероятностью, на которой мера вероятности не определена? Какие типы заявлений мы бы сделали о таком событии?

probability estimation

— Скенектади.Особенности
источник

Это не вычисляется. Может быть, мне нужен кофе или я неправильно читаю это. Существует разница между функцией измерения, которая не определена, и набором, который нельзя измерить. Если вопрос относится к функции, то это просто точка, в которой функция не определена. Это не исключает возможности определения функции, которая является допустимой мерой вероятности.

— Итератор

Если вы не можете установить множество, не поддающееся измерению Лебега, без аксиомы выбора, как вы предлагаете узнать, произошло ли конкретное событие с неизмеримой вероятностью или нет?

— Генри

@ Генри: ОП может иметь в виду только терминологию. Что касается того, как я могу относиться к такому событию, мне придется обратиться к Дугласу Адамсу «Бесконечный диск Невероятности». Или назовите это феноменом Белой Королевы, поскольку она могла поверить 6 невозможным вещам до завтрака. :)

— Итератор

Как указал кардинал, неизмеримые множества очень широко используются в теории вероятностей. Книга Слабой конвергенции и эмпирических процессов Ван дер Ваарта дает очень хорошее введение. Чтение этой книги требует довольно хорошего знания математики, но представленная теория, на мой взгляд, прекрасна.

— mpiktas

Вас интересуют только результаты, включающие меру Лебега или, в более общем смысле, в рамках теории вероятностей? Кажется, здесь есть некоторые сомнения по этому поводу среди участников.

— кардинал

Ответы:

Как я уже говорил в комментариях, как бороться с этими типами событий (неизмеримые множества) описано в книге: Слабая конвергенция и эмпирические процессы А. ван дер Ваарта и А. Веллнера. Вы можете просмотреть первые несколько страниц.

Решение, как обращаться с этими наборами, довольно просто. Приблизьте их измеримыми множествами. Итак, предположим, что у нас есть вероятностное пространство . Для любого набора определите внешнюю вероятность (это на странице 6 в книге): $(\Omega,\mathcal{A},P)$ $B$

п^{*} (В) знак равно инф {(п (A), В \subset A, A \in A}

$P^*(B)=\inf\{(P(A), B\subset A, A\in \mathcal{A}\}$

Получается, что вы можете построить очень плодотворную теорию с таким определением.

— mpiktas
источник

хотя я не эксперт по теории эмпирических процессов, у меня сложилось впечатление, что использование внешних вероятностей на самом деле не основано на желании присваивать вероятности неизмеримым множествам, а потому, что вы не хотите проходить через трудности фактически доказывая измеримость все время. И если вы можете жить без таких вещей, как теорема Фубини, то вы в основном ничего не теряете, просто вычисляя внешние вероятности.

— NRH

Изменить: В свете комментария кардинала: Все, что я говорю ниже, неявно о мере Лебега (полная мера). Перечитывая ваш вопрос, кажется, что это также то, о чем вы спрашиваете. В случае общей меры Бореля может быть возможно расширить меру, чтобы включить ваш набор (что невозможно с мерой Лебега, потому что она уже настолько велика, насколько это возможно).

Вероятность такого события не будет определена. Период. Подобно тому, как действительная функция не определена для (нереального) комплексного числа, вероятностная мера определена для измеримых множеств, но не для неизмеримых множеств.

Итак, какие заявления мы можем сделать о таком событии? Ну, для начала, такое событие должно быть определено с использованием аксиомы выбора. Это означает, что все множества, которые мы можем описать по некоторому правилу, исключены. То есть все множества, которые нас интересуют, исключены.

Но не могли бы мы сказать что-то о вероятности неизмеримого события? Сковать это или что-то? Парадокс банах-тарского показывает, что это не сработает. Если бы мера конечного числа частей, на которые Банах-Тарский разлагает сферу, имела верхнюю границу (скажем, меру сферы), построив достаточное количество сфер, мы столкнулись бы с противоречием. Аналогичным рассуждением в обратном направлении мы видим, что фигуры не могут иметь нетривиальной нижней границы.

Я не показал, что все неизмеримые множества являются такими проблематичными, хотя я считаю, что более умный человек, чем я, мог бы выдвинуть аргумент, показывающий, что мы не можем каким-либо непротиворечивым образом поставить какую-либо нетривиальную границу «меру» «любого неизмеримого набора (вызов сообществу).

Таким образом, мы не можем сделать какое-либо утверждение о вероятности такого набора, это не конец света, потому что все соответствующие наборы измеримы.

— Har
источник

Это интересный ответ и информативный ответ. Но вы можете быть слишком сосредоточены на измеримости Лебега. Неизмеримые множества гораздо более распространены в теории вероятностей.

— кардинал

$\sigma$ $\sigma$ $\sigma$ $\sigma$ $\mathbb{R}$ $\sigma$

$\sigma$ $\sigma$

— NRH
источник