Понятие «среднее» бродит гораздо шире, чем традиционное среднее арифметическое; это простирается так далеко, чтобы включить медиану? По аналогии
Я провожу аналогию со средним квазиарифметическим выражением, определяемым как:
Для сравнения, когда мы говорим, что медиана набора данных из пяти элементов равна третьему элементу, мы можем видеть, что это эквивалентно ранжированию данных от одного до пяти (что мы можем обозначить функцией ); брать среднее значение преобразованных данных (а это три); и считывание значения элемента данных, который имел ранг три (разновидность f ^ {- 1} ).
В примерах среднего геометрического, среднего гармонического и среднеквадратичного значения представляла собой фиксированную функцию, которую можно применять к любому числу в отдельности. Напротив, либо для присвоения ранга, либо для возврата из рангов к исходным данным (интерполяция там, где это необходимо) требуется знание всего набора данных. Более того, в определениях, которые я прочитал о квазиарифметическом среднем, должно быть непрерывным. Рассматривается ли медиана как частный случай квазиарифметического среднего, и если да, то как определяется ? Или медиана когда-либо описывалась как пример какого-то другого более широкого понятия «среднее»? Квазиарифметическое среднее, конечно, не единственное доступное обобщение.
Часть вопроса является терминологической (что означает «означает» в любом случае, особенно в отличие от «центральной тенденции» или «среднего»?). Например, в литературе по нечетким системам управления функция агрегирования является возрастающей функцией с и ; функция агрегации, для которой для всех называется «средним» (в общий смысл). Излишне говорить, что такое определение невероятно широкое! И в этом контексте медиана действительно упоминается как тип среднего. Но мне любопытно, могут ли менее широкие характеристики среднего значения все еще простираться достаточно далеко, чтобы охватить медиану - так называемое обобщенное среднее (которое лучше было бы описать как «среднее значение силы»), а среднее Лемера - нет, но другие могут , Для чего это стоит, Википедия включает «медиану» в свой список «других средств» , но без дальнейших комментариев или цитирования.
: Такое широкое определение среднего значения, подходящее для более чем двух входов, кажется стандартным в области нечеткого контроля и многократно возникало при поиске в Интернете случаев, когда медиана описывается как медиана; Я приведу, например, Fodor, JC & Rudas, IJ (2009), « О некоторых классах функций агрегации, которые являются миграционными », IFSA / EUSFLAT Conf. (стр. 653-656). Кстати, в этой статье отмечается, что одним из самых ранних пользователей термина «среднее» ( moyenne ) был Коши , в Политехническом курсе королевской школы, 1ère partie; Проанализируйте альбрике (1821). Более поздние вклады Aczél , Chisini ,и де Финетти в разработке более общих понятий «среднее», чем Коши, признано в Fodor, J. и Roubens, M. (1995), « О значимости средств », Журнал вычислительной и прикладной математики , 64 (1), 103-115.