10 голов подряд повышают вероятность того, что следующий бросок будет хвостом?

Я предполагаю, что верно следующее: при условии честной монеты, получение 10 голов подряд при подбрасывании монеты не увеличивает вероятность того, что следующая монета окажется хвостом , независимо от того, какое количество вероятности и / или статистического жаргона подброшено вокруг (извините за каламбур).

Предполагая, что это так, мой вопрос заключается в следующем: как, черт возьми, я могу убедить кого-то, что это так?

Они умны и образованны, но, похоже, полны решимости не учитывать, что я могу быть прав в этом (аргумент).

они пытаются утверждать, что [...] если было 10 голов, то следующая в последовательности, скорее всего, будет хвостом, потому что статистика говорит, что в конце она выровняется

Есть только «балансировка» в очень особом смысле.

Если это честная монета, то она все равно 50-50 на каждый бросок. Монета не может знать свое прошлое . Он не может знать, что был избыток голов. Он не может компенсировать свое прошлое. Когда - либо . это просто случайные головы или хвосты с постоянным шансом головы.

Если - количество голов в ( - количество хвостов), то для справедливой монеты будет стремиться к 1, так как уходит в бесконечность .... ноне идет к 0. На самом деле, это также идет к бесконечности! n = n H + n T n T n H / n T n H + n T | n H - n T $n_H$$n=n_H+n_T$$n_T$$n_H/n_T$$n_H+n_T$$|n_H-n_T|$

То есть ничто не действует, чтобы сделать их более ровными. Подсчет не склонен к «балансировке». В среднем, дисбаланс между количеством голов и хвостов действительно увеличивается!

Вот результат 100 подходов по 1000 бросков, причем серые следы показывают разницу в количестве головы за вычетом количества хвостов на каждом шаге.

Серые следы (представляющие ) являются случайным блужданием Бернулли. Если вы думаете, что частица движется вверх или вниз по оси y на единичный шаг (случайным образом с равной вероятностью) на каждом временном шаге, то распределение положения частицы будет «рассеиваться» от 0 с течением времени. Он все еще имеет ожидаемое значение 0, но его ожидаемое расстояние от 0 увеличивается как квадратный корень из числа временных шагов. [Примечание для тех, кто думает « говорит ли он об ожидаемой абсолютной разнице или среднеквадратичной разнице » - на самом деле либо: для больших первое равно 80% от второго.] n $n_H-n_T$$n$$\sqrt{2/\pi}\approx$

Синяя кривая выше в а зеленая кривая в . Как видите, типичное расстояние между общими головами и общими хвостами увеличивается. Если бы что-то действовало, чтобы «восстановить равенство» - «восполнить» отклонения от равенства - они бы обычно не росли дальше, как это. (Нетрудно показать это алгебраически, но я сомневаюсь, что это убедит вашего друга. Критическая часть состоит в том, что дисперсия суммы независимых случайных величин является суммой дисперсий см. Конец связанного раздела - каждый Когда вы добавляете еще один бросок монеты, вы добавляете постоянную сумму к дисперсии суммы ... так что дисперсия должна расти пропорционально ±2$\pm \sqrt{n}$ <>n$\pm 2\sqrt{n}$ $<$$>$$n$, Следовательно, стандартное отклонение увеличивается с . Константа, которая добавляется к дисперсии на каждом шаге в этом случае, равна 1, но это не имеет решающего значения для аргумента.)$\sqrt{n}$

Эквивалентно, имеет значение поскольку общее число бросков уходит в бесконечность, но только потому, что уходит в бесконечность намного быстрее, чемделает.$\frac{|n_H-n_T|}{n_H+n_T}$$0$$n_H+n_T$$|n_H-n_T|$

Это означает, что если мы разделим этот кумулятивный счет на$n$ на каждом шаге, он изменится - типичная абсолютная разница в количестве составляет порядка , но типичная абсолютная разница в пропорции должна быть порядка .$\sqrt{n}$$1/\sqrt{n}$

Это все, что происходит. Все более крупные * случайные отклонения от равенства просто « смываются » еще большим знаменателем.

* увеличение в типичном абсолютном размере

Смотрите небольшую анимацию на полях, здесь

Если ваш друг не убежден, бросьте несколько монет. Каждый раз, когда вы говорите три головы подряд, заставьте его или ее назначить вероятность для головы на следующем броске (это менее 50%), которую он считает справедливой по его рассуждению. Попросите их дать вам соответствующие шансы (то есть он или она должны быть готовы заплатить чуть больше 1: 1, если вы делаете ставку на головы, так как они настаивают на том, что хвосты более вероятны). Лучше всего, если каждая ставка будет сделана за небольшую сумму денег. (Не удивляйтесь, если есть какое-то оправдание тому, почему они не могут взять свою половину ставки - но это, по крайней мере, значительно снижает страсть, с которой удерживается позиция.)

[Однако все это обсуждение основано на честности монеты. Если бы монета не была честной (50-50), то потребовалась бы другая версия обсуждения - основанная на отклонениях от ожидаемой пропорции-разницы. Наличие 10 голов в 10 бросках может вызвать подозрение в предположении, что р = 0,5. Монета с хорошим броском должна быть близка к справедливой - взвешенной или нет - но на самом деле все еще демонстрирует небольшой, но эксплуатируемый уклон , особенно если человек, эксплуатирующий ее, является кем-то вроде Перси Диакониса. Вращающиеся монеты, с другой стороны, могут быть весьма подвержены смещению из-за большего веса на одном лице.]

Путаница в том, что он смотрит на вероятность с самого начала, не смотря на то, что еще уже произошло.

Позволяет упростить вещи:

Первый бросок:

T

Теперь вероятность Т была 50%, поэтому 0,5.

Вероятность того, что следующим броском снова будет Т, равна 0,5.

TT 0.5
TF 0.5

Тем не менее, как насчет первого флип? Если мы включим это тогда:

TT 0.25
TF 0.25

Остальные 50% начинаются с F и снова имеют четное разделение между T и F.

Чтобы расширить это до десяти хвостов подряд - вероятность того, что вы уже получили, составляет 1/1024.

Вероятность того, что следующим является T или F, составляет 50%.

Таким образом, шанс с начала 11 хвостов равен 1 в 2048 году. Вероятность того, что уже 10 раз перевернутый хвост будет повторять хвост, также равна 50%.

Они пытаются применить вероятность 1 к 1024 с вероятностью 10 Т к вероятности другого Т, когда на самом деле это уже произошло, поэтому вероятность того, что это произойдет, больше не важна.

11 хвостов подряд не более или менее вероятны, чем 10 хвостов, за которыми следует одна голова.

Вероятность того, что 11 бросков - все хвосты, маловероятна, но, поскольку это уже произошло, это уже не имеет значения!

Вероятность того, что следующим броском будет хвост, все еще равна 50-50.

Очень простое объяснение: шансы перевернуть 10 голов + 1 хвост в этом порядке очень низки. Но к тому времени, когда вы перевернули 10 голов, вы уже преодолели большинство шансов ... у вас есть 50-50 шансов закончить последовательность со следующим броском монеты.

Вы должны попытаться убедить их, что если предыдущие результаты повлияли на предстоящие броски, то должны были быть приняты во внимание не только последние 10 бросков, но и каждый предыдущий бросок в жизни монеты.

Я думаю, что это более логичный подход.

Это не совсем ответ - ваша проблема психологическая, а не математическая. Но это может помочь.

sometimes$2^{10} \approx 10^3$

$1/2$

$x_n$$11, 12, \dots, n+10.$

$$\lim_{n \rightarrow \infty} x_n/n =1/2$$ $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{10+x_n}{n+10}= 1/2$$ $$\frac{10+500000}{1000010} \approx 0.5$$ Итак, в пределе первые 10 хвостов вообще не имеют значения, их эффект «размыт» всеми последующими бросками. Таким образом, нет необходимости в «балансировке» для удержания предельного результата. Математически, это просто использование факта, что предел (если существует ...) любой последовательности чисел вообще не зависит ни от какого конечного начального сегмента! Таким образом, мы можем произвольно назначить результаты для первых десяти (или первых сотен) бросков, не влияя на предел вообще. Я думаю, что этот способ объяснить это своим друзьям-азартным игрокам (возможно, с большим количеством цифр и примеров и меньшим количеством алгебры ...) может быть лучшим способом.

Другой аспект : после десяти бросков десять хвостов, возможно, кто-то начинает сомневаться в том, что монета хорошая, соответствует простой обычной модели независимых одинаковых вероятностных бросков. Предполагая, что «tosser» (человек, выполняющий бросание) не был обучен тому, как каким-либо образом контролировать броски, и действительно бросает честно, вероятность хвоста должна составлять половину ( см. Эту статью Гельмана ).

Итак, в альтернативной гипотезе должна быть некоторая зависимость между бросками монет! И, увидев десять хвостов подряд, доказательство того, что зависимость является положительной, так что один хвост увеличивает вероятность того, что следующий бросок монеты будет хвостом. Но затем, после этого анализа, разумный вывод состоит в том, что вероятность того, что одиннадцатый бросок будет хвостом, увеличивается , а не уменьшается! Таким образом, вывод, в этом случае, противоположен вашим игрокам, друзьям.

Я думаю, вам понадобится очень странная модель, чтобы оправдать свои выводы.

Предполагая, что броски монет независимы, это очень легко доказать от одного статистика к другому. Тем не менее, ваш друг, похоже, не верит, что подбрасывание монет является независимым. Кроме разбрасывания слов, которые являются синонимами независимых (например, у монеты нет «памяти»), вы не можете доказать ему, что броски монет независимы с помощью простого аргумента слова. Я бы предложил использовать симуляцию, чтобы отстаивать свои претензии, но, если честно, если ваш друг не верит, что броски монет независимы, я не уверен, что он поверит в результаты симуляции.

Чтобы переформулировать некоторые объяснения, которые уже были даны (@TimB и @James K), после того, как вы перевернули монету 10 раз и получили 10 голов, вероятность получить 10 голов подряд составляет ровно 1,0! Это уже произошло, поэтому вероятность того, что это произошло, теперь фиксирована.

Когда вы умножаете это на вероятность получения голов на следующем броске (0,5), вы получаете ровно 0,5.

Ставка на хвосты с ничем иным, кроме четных шансов в этой точке, является ставкой сосунка.

Допустим, я убежден, что монета справедлива. Если монета была честной, то вероятность наличия 10 голов подряд - это Итак, как частый человек со значением , я должен отвергнуть : монета справедлива и сделать вывод, что : «что-то подозрительное» - правда. Нет, я не могу настаивать на том, что вероятность увидеть другую голову все еще

$$p_{10}=\left(\frac{1}{2}\right)^{10}=\frac{1}{1024}<0.1\%$$ $\alpha=1\%$$H_0$$H_a$$\frac{1}{2}$

Я оставлю это вам, чтобы применить байесовский подход и прийти к аналогичному выводу. Вы начнете с предыдущей вероятности появления голов , а затем обновите ее с наблюдением за 10 головами подряд, и вы увидите, как задняя вероятность появления головок$p=\frac{1}{2}$$\pi>\frac{1}{2}$

Пример UPDATE @oerkelens можно интерпретировать двумя способами.

• ваш друг сделал ставку на THHTTHTTHT, затем бросил монету 10 раз и получил: THHTTHTTHT. В этом случае вы будете удивлены 10 головами подряд и начнете сомневаться в справедливости монеты. Вы не уверены, что думать о вероятности хвоста в следующем броске, потому что ваш друг, кажется, в состоянии получить именно то, что он хочет, это не случайно.
• вы бросили монету 10 раз и увидели какую-то комбинацию, которая оказалась THHTTHTTHT, вы заметите, что там было 6 хвостов и 4 головы, то есть , что ничем не примечательно. Следовательно, вероятность хвоста в следующем броске, вероятно, равна , поскольку нет оснований сомневаться в его справедливости.$p=\frac{10!}{6!4!2^{10}}\sim 0.2$$\frac{1}{2}$

Также можно утверждать, что хотя 0,001 - это малая вероятность, если вы бросите 10 монет 100 000 раз, вы обязательно увидите несколько комбинаций из 10 голов. Да, но в этом случае у вас есть 1 миллион бросков монет, и вы ищете по крайней мере одну комбинацию из 10 голов в последовательности. Частотная вероятность наблюдения по крайней мере одной комбинации из 10 голов рассчитывается следующим образом: Таким образом, частый будет заключать после долгих месяцев бросания монеты 1 миллион раз и наблюдения комбинации из 10 голов, ничего страшного, вещи случаются. Он не будет вносить никаких корректировок в свои ожидания относительно вероятности следующей головы и оставит ее на уровне 0,5.

$$1-\left(\frac{1}{2^{10}}\right)^{100,000}\approx 1$$

ДЛЯ ЛЮДЕЙ КОМПЬЮТЕРА Если ваши друзья программисты, то я обнаружил, что самый простой способ обратиться к их интуиции - программирование. Попросите их запрограммировать эксперимент по подбрасыванию монет. Они немного подумают, а потом придумают что-то вроде этого:

for i=1:11
   if rand()>0.5 
       c='H';
   else
       c='T';
   end
   fprintf('%s',c)
end
disp '.'

THTHTHTHHHT.

Вы спросите их

где твой код для обработки 10 голов подряд здесь? Похоже, что в вашем коде, независимо от того, что произошло в первых 10 циклах, 11-й бросок имеет 0,5 вероятности появления голов.

Тем не менее, этот случай обращается к честному броску монеты. Код разработан с честным броском монеты. Тем не менее, в случае 10 голов весьма маловероятно, что монета справедлива.

В идеальных условиях ответ - нет. Каждый бросок не зависит от того, что было раньше. Так что, если это действительно честная монета, то это не имеет значения. Но если вы не уверены, является ли монета неисправной или нет (что может случиться в реальной жизни), длинная последовательность хвостов может привести к убеждению, что она несправедлива.

Этот ответ будет работать для всех вопросов такого рода, включая проблему Монти Холла. Просто спросите их, что они думают о вероятности получить хвост после десяти голов. Предложите сыграть их немного лучше (для них), но все еще под 50-50 шансов. Если повезет, они согласятся, чтобы компьютер сделал переворот, и в этом случае у вас быстро будет сумма денег в вашем кармане. В противном случае это займет больше времени, но результат (неизбежно) тот же.

Как бы вы их убедили? Один из способов - показать распределение результатов по точно описанной проблеме.

#1,000,000 observations
numObservations <- 1e+6
#11 coin tosses per sample
numCoinTosses <- 11

sampledCoinTosses <- matrix(sample(c(-1,1),numObservations*numCoinTosses,replace=TRUE),
                        nrow = numObservations, ncol = numCoinTosses)
sampledCoinTosses <- cbind(sampledCoinTosses,apply(sampledCoinTosses[,1:numCoinTosses - 1],1,sum))
#Where the sum of the first ten observations is 10, this corresponds to 10 heads.
tenHeadsObservations <- sampledCoinTosses[which(sampledCoinTosses[,numCoinTosses + 1] == 10),]
#By looking at the summary of the 11th coin toss we can see how close the average value is to 0
summary(tenHeadsObservations[,numCoinTosses])

$10$$0.5^{10}$

• $0.5^{10}$
• $0.5^{11}$

И разница между ними - всего лишь одна честная монета.