Что сходится быстрее, среднее или срединное?

Если я нарисую iid переменные из N (0,1), сойдется ли среднее или медиана быстрее? Насколько быстрее?

Чтобы быть более точным, пусть - последовательность переменных iid, взятых из N (0,1). Определите и как медиану , Что сходится к 0 быстрее, или ? $x_1, x_2, \ldots$ $\bar{x}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$ $\tilde{x}_n$ $\{x_1, x_2, \ldots x_n\}$ $\{\bar{x}_n\}$ $\{\tilde{x}_n\}$

Для конкретности о том, что значит сходиться быстрее: существует ли ? Если так, то, что это? $\lim_{n \to \infty} Var(\bar{X}_n)/Var(\tilde{X}_n)$

normal-distribution mean median

— Джош Браун Крамер
источник

Вы спрашиваете о сходимости в вероятности точечной оценки по параметру совокупности? Или вы спрашиваете о сходимости в распределении случайной величины?

— Райан Симмонс

Под «сходиться быстрее к 0» вы имеете в виду «который имеет меньшую асимптотическую дисперсию» или что-то еще?

— Glen_b

@Glen_b В некоторой степени это вызвано реальной проблемой: медиана является более устойчивой к выбросам, поэтому кажется, что медиана выборки должна сходиться быстрее, чем среднее значение, по мере роста размера выборки. Я действительно не знаю, как лучше всего выразить скорость конвергенции в этой ситуации. Для конкретности я мог бы спросить, существует ли

lim_{n \to \infty} V a r ({\bar{X}}_{n}) / V a r ({\tilde{X}}_{n})

$\lim_{n \to \infty} Var(\bar{X}_n)/Var(\tilde{X}_n)$ , и если да, то что это такое.

— Джош Браун Крамер

Если данные действительно отбираются из нормального распределения, выбросы крайне редки - настолько редки, что влияние на среднее значение оставляет среднее значение выборки как наиболее эффективную оценку среднего значения по совокупности. Но вам не нужен тяжелый хвост, чтобы сделать медиану конкурентоспособной. Это соотношение, которое вы упомянули, действительно будет около 0,63

— Glen_b

Среднее значение и медиана одинаковы в данном конкретном случае. Известно, что медиана на 64% эффективнее среднего, поэтому среднее быстрее сходится. Я могу написать более подробную информацию, но Википедия точно отвечает на ваш вопрос.

— Яир Даон
источник

У вас есть цитата?

— Джош Браун Крамер

Лаплас, PSde (1818) Дополнение Deuxième a Théorie Analytique des Probabilités , Paris, Courcier - Laplace дает асимптотическое распределение как для среднего, так и для медианы. См. Также раздел о дисперсии медианы в Википедии

— Glen_b

@Glen_b: (+1) окончательная ссылка !!!

— Сиань

@Glen_b да, это был эпический ответ, я смеялся довольно сильно. Спасибо за это!

— user541686

@ xi'an ты хотел написать, что среднее значение и медиана - это одно и то же количество?

— Яир Даон