Вычислить квантиль суммы распределений из определенных квантилей

Давайте предположим , что $N$ независимых случайных величин $X_1, ..., X_N$ для которых квантили на некотором конкретном уровне $\alpha$ известны посредством оценки по данным: $\alpha = P(X_1 < q_1)$ , ..., $\alpha = P(X_N < q_N)$ . Теперь давайте определим случайную величину $Z$ как сумму $Z = \sum_{i=1}^N X_i$ , Есть ли способ вычислить значение квантиля суммы на уровне $\alpha$ , то есть $q_z$ в $\alpha = P(Z < q_Z)$ ?

Я думаю, что в отдельных случаях, например, если $X_i$ следует гауссову распределению $\forall i$ это легко, но я не уверен в случае, когда распределение $X_i$ неизвестно. Любые идеи?

quantiles

— albarji
источник

которые они

q_{i}

$q_i$ оценить из данных или теоретически известно?

— chuse

Это невозможно без конкретных предположений о распределении

X_{i}

$X_i$ . Вы имеете в виду семью дистрибутивов?

— whuber

@ chuse

q_{i}

$q_i$ оцениваются по данным, поскольку распределение

X_{i}

$X_i$ неизвестно, но доступны образцы. Я обновил вопрос с этим фактом.

— Альбарджи

@whuber У меня нет предварительных знаний о семье распределений

мог бы быть следующим, хотя выборки данных доступны. Будет ли допущение, что семейство распределений (кроме гауссовских) облегчит это?

X_{i}

$X_i$

— Альбарджи

может быть чем угодно. $q_Z$

Чтобы разобраться в этой ситуации, сделаем предварительное упрощение. Работая с мы получаем более равномерную характеристику $Y_i = X_i - q_i$

α = Pr (X_{i} \leq q_{i}) = Pr (Y_{i} \leq 0) .

$\alpha = \Pr(X_i \le q_i) = \Pr(Y_i \le 0).$

То есть каждый имеет одинаковую вероятность быть отрицательным. Потому что $Y_i$

W = \sum_{i} Y_{i} = \sum_{i} X_{i} - \sum_{i} q_{i} = Z - \sum_{i} q_{i},

$W = \sum_i Y_i = \sum_i X_i - \sum_i q_i = Z - \sum_i q_i,$

определяющее уравнение для эквивалентно $q_Z$

α = Pr (Z \leq q_{Z}) = Pr (Z - \sum_{i} q_{i} \leq q_{Z} - \sum_{i} q_{i}) = Pr (W \leq q_{W})

$\alpha = \Pr(Z \le q_Z) = \Pr(Z - \sum_i q_i \le q_Z - \sum_i q_i) = \Pr(W \le q_W)$

с . $q_Z = q_W + \sum_i q_i$

Каковы возможные значения ? Рассмотрим случай, когда все имеют одинаковое распределение со всей вероятностью по двум значениям, одно из которых отрицательное ( ), а другое положительное ( ). Возможные значения суммы ограничены для . Каждый из них происходит с вероятностью $q_W$ $Y_i$ $y_{-}$ $y_{+}$ $W$ $ky_{-} + (n-k)y_{+}$ $k=0, 1, \ldots, n$

{Pr}_{W} (k y_{-} + (n - k) y_{+}) = (\binom{n}{k}) α^{k} (1 - α)^{n - k} .

${\Pr}_W(ky_{-} + (n-k)y_{+}) = \binom{n}{k}\alpha^k(1-\alpha)^{n-k}.$

Крайности могут быть найдены

Выбор и так, чтобы ; и выполнят это. Это гарантирует, что будет отрицательным, кроме случаев, когда все положительны. Этот шанс равен . Он превышает когда , подразумевая, что квантиль должен быть строго отрицательным. $y_{-}$ $y_{+}$ $y_{-} + (n-1)y_{+} \lt 0$ $y_{-}=-n$ $y_{+}=1$ $W$ $Y_i$ $1 - (1-\alpha)^n$ $\alpha$ $n\gt 1$ $\alpha$ $W$
Выбор и так, чтобы ; и выполнят это. Это гарантирует, что будет отрицательным только тогда, когда все отрицательны. Этот шанс равен . Это меньше, чем когда , подразумевая, что квантиль должен быть строго положительным. $y_{-}$ $y_{+}$ $(n-1) y_{-} + y_{+} \gt 0$ $y_{-}=-1$ $y_{+}=n$ $W$ $Y_i$ $\alpha^n$ $\alpha$ $n\gt 1$ $\alpha$ $W$

Это показывает, что квантиль может быть либо отрицательным, либо положительным, но не равен нулю. Каким может быть его размер? Оно должно равняться некоторой интегральной линейной комбинации и . Делая оба эти значения целыми, мы гарантируем, что все возможные значения являются целыми. Масштабируя произвольным положительным числом , мы можем гарантировать, что все интегральные линейные комбинации и являются целыми кратными . Поскольку , его размер должен быть не менее . Следовательно, $\alpha$ $W$ $y_{-}$ $y_{+}$ $W$ $y_{\pm}$ $s$ $y_{-}$ $y_{+}$ $s$ $q_W \ne 0$ $s$ возможные значения (и, ) не ограничены, $q_W$ $q_Z$ независимо от того, что может быть равно. $n\gt 1$

Только способ получить какую - либо информацию о бы сделать конкретные и сильные ограничения на распределениях , в целях предотвращения и ограничения рода несимметричных распределений , используемых для получения этого отрицательного результата. $q_Z$ $X_i$

— Whuber
источник

Большое спасибо @whuber, за объяснение и иллюстративный пример. Хотя ответ отрицательный, я не могу сказать, что это было неожиданно. Затем я попытаюсь выяснить, какое семейство распределений подходит для моих данных, и посмотрим, смогу ли я определить квантили суммы.

— Альбарджи