Помогите мне понять скорректированное соотношение шансов в логистической регрессии

Мне было трудно понять, как использовать логистическую регрессию в статье. Доступный здесь документ использует логистическую регрессию для прогнозирования вероятности осложнений во время операции по удалению катаракты.

Что меня смущает, так это то, что в статье представлена ​​модель, которая присваивает отношение шансов 1 к базовой линии, описываемое следующим образом:

Пациент, профиль риска которого был в контрольной группе по всем показателям риска (т.е. скорректированный OR = 1,00 для всех в таблице 1), может рассматриваться как имеющий «базовый профиль риска», а модель логистической регрессии указывает «базовую прогнозируемую вероятность» для ПЦР или ВЛ или обоих = 0,736%.

Таким образом, вероятность 0,00736 представлена ​​с отношением шансов 1. На основании преобразования вероятностей в отношения шансов: , оно не может быть равно 1: . 0,00741=$o=\frac{p}{1-p}$$0.00741=\frac{0.00736}{1-0.00736}$

Это становится еще более запутанным. Составные отношения шансов, которые представляют несколько ковариат, имеющих значения, отличные от базовой линии, используются для расчета прогнозируемого риска.

... составное ИЛИ из Таблицы 1 будет равно 1,28 X 1,58 X 2,99 X 2,46 X 1,45 X 1,60 = 34,5, и из графика на Рисунке 1 мы видим, что это OR соответствует прогнозируемой вероятности PCR или VL или обоих около 20%

Единственный способ получить значения, приведенные в документе в качестве примеров, - это умножить базовую вероятность на составные коэффициенты, например: .$0.2025=\frac{(34.50\ \times\ 0.00736)}{1\ +\ (34.50\ \times\ 0.00736)}$

и так, что здесь происходит? Какова логика для присвоения отношения шансов 1 базовой вероятности, которая не равна 0,5? Приведенная выше формула обновления дает правильные вероятности для примеров в статье, но это не прямое умножение отношения шансов, которое я ожидаю. Что тогда?

Шансы - это способ выразить свои шансы. Коэффициенты шансов просто так: один коэффициент делится на другой. Это означает, что отношение шансов - это то, на что вы умножаете один коэффициент на другой. Давайте посмотрим, как они работают в этой общей ситуации.

Преобразование между шансами и вероятностью

Шансы бинарного ответа - это отношение вероятности того, что это происходит (закодировано с 1 ), записанное Pr ( Y = 1 ) , к вероятности того, что это не произойдет (закодировано с ), записанное :$Y$$1$$\Pr(Y=1)$Pr ( Y = 0 $0$$\Pr(Y=0)$

$$\text{Odds}(Y) = \frac{\Pr(Y=1)}{\Pr(Y=0)} = \frac{\Pr(Y=1)}{1 - \Pr(Y=1)}.$$

Эквивалентное выражение справа показывает, что модели чтобы найти шансы. И наоборот, обратите внимание, что мы можем решить$\Pr(Y=1)$

$$\Pr(Y=1) = \frac{\text{Odds}(Y)}{1 + \text{Odds}(Y)} = 1 - \frac{1}{1 + \text{Odds}(Y)}.$$

Логистическая регрессия

Логистическая регрессия моделирует логарифм шансов как линейную функцию объясняющих переменных. В целом, записывая эти переменные как x 1 , … , x p и включая возможный постоянный член в линейную функцию, мы можем назвать коэффициенты (которые должны быть оценены по данным) как β 1 , … , β p и β 0 . Формально это производит модель$Y$$x_1, \ldots, x_p$$\beta_1,\ldots, \beta_p$$\beta_0$

$$\log\left(\text{Odds}(Y)\right) = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_p x_p.$$

Сами шансы могут быть восстановлены путем удаления логарифма:

$$\text{Odds}(Y) = \exp(\beta_0 + \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_p x_p).$$

Использование категориальных переменных

Категориальные переменные, такие как возрастная группа, пол, наличие глаукомы и т. Д. , Включаются посредством «фиктивного кодирования». Чтобы показать, что то, как кодируется переменная, не имеет значения, я приведу простой пример одной небольшой группы; его обобщение на несколько групп должно быть очевидным. В этом исследовании одной переменной является «размер зрачка» с тремя категориями: «Большой», «Средний» и «Маленький». (Исследование рассматривает их как чисто категориальные, по-видимому, не обращая внимания на их внутренний порядок.) Интуитивно, каждая категория имеет свои собственные шансы, скажем, для «Large», для «Medium» и для «Small» , Это означает, что при прочих равных условияхα M α $\alpha_L$$\alpha_M$$\alpha_S$

$$\text{Odds}(Y) = \exp(\color{Blue}{\alpha_L + \beta_0} + \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_p x_p)$$

для любого в категории «Большие»,

$$\text{Odds}(Y) = \exp(\color{Blue}{\alpha_M + \beta_0} + \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_p x_p)$$

для любого в категории «Средний», и

$$\text{Odds}(Y) = \exp(\color{Blue}{\alpha_S + \beta_0} + \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_p x_p)$$

для тех, кто в категории "Малый".

Создание идентифицируемых коэффициентов

Я выделил первые два коэффициента, чтобы выделить их, потому что я хочу, чтобы вы заметили, что они допускают простое изменение: мы можем выбрать любое число и, добавив его в и вычтя его из каждого из , и , мы не изменим прогнозируемые шансы. Это из-за очевидных эквивалентностей формы$\gamma$$\beta_0$$\alpha_L$$\alpha_M$$\alpha_S$

$$\alpha_L + \beta_0 = (\alpha_L - \gamma) + (\gamma + \beta_0 ),$$

и т. д. Несмотря на то, что это не представляет проблем для модели - она ​​все же предсказывает точно такие же вещи - это показывает, что параметры сами по себе не интерпретируются. То, что остается неизменным, когда мы выполняем этот маневр сложения-вычитания, это различия между коэффициентами. Традиционно, чтобы решить проблему отсутствия идентифицируемости, люди (и по умолчанию программное обеспечение) выбирают одну из категорий в каждой переменной в качестве «базы» или «ссылки» и просто оговаривают, что ее коэффициент будет равен нулю. Это устраняет двусмысленность.

В документе сначала перечислены справочные категории; «Большой» в этом случае. Таким образом, вычитается из каждого из и и добавляется в для компенсации.$\alpha_L$$\alpha_L, \alpha_M,$$\alpha_S$$\beta_0$

Следовательно, логарифмические шансы для гипотетического индивида, попадающего во все базовые категории, равны плюс набор терминов, связанных со всеми другими "ковариатами" - переменными:$\beta_0$

$$\text{Odds(Base category)} = \exp(\beta_0 + \beta_1X_1 + \cdots + \beta_p X_p).$$

Нет термины , связанные с каким - либо категориальными переменными появляются здесь. (Я немного изменил обозначения на этом этапе: betas теперь являются коэффициентами только ковариат , в то время как полная модель включает alphas для различных категорий.)$\beta_i$$\alpha_j$

Сравнение шансов

Давайте сравним шансы. Предположим, что гипотетический человек

пациент мужского пола в возрасте 80–89 лет с белой катарактой, без глазного дна и с небольшим зрачком, оперируемым специализированным регистратором, ...

С этим пациентом (давайте назовем его Чарли) связаны оценочные коэффициенты для каждой категории: для его возрастной группы, для мужчины и т. Д. Там , где его атрибут является базой для своей категории, коэффициент равен нулю по соглашению , как мы уже видели. Поскольку это линейная модель, коэффициенты добавляют. Таким образом, к базовым логарифмам, указанным выше, логарифмические шансы для этого пациента получаются путем добавления в$\alpha_\text{80-89}$$\alpha_\text{male}$

$$\alpha_\text{80-89}+\alpha_\text{male}+\alpha_\text{no Glaucoma}+ \cdots + \alpha_\text{specialist registrar}.$$

Это как раз та сумма, на которую логарифмические шансы этого пациента отличаются от базового. Чтобы преобразовать из логарифмов, отмените логарифм и напомните, что это превращает сложение в умножение. Следовательно, базовые шансы должны быть умножены на

$$\exp(\alpha_\text{80-89})\exp(\alpha_\text{male})\exp(\alpha_\text{no Glaucoma}) \cdots \exp(\alpha_\text{specialist registrar}).$$

Это числа, указанные в таблице в разделе «Скорректированное ИЛИ» (скорректированное соотношение шансов). (Это называется «скорректированным», потому что в модель были включены ковариаты . Они не играют никакой роли ни в одном из наших вычислений, как вы увидите. Это называется «отношением», потому что именно какие базовые шансы нужно умножить, чтобы получить прогнозные шансы пациента: см. первый абзац этого поста.) В таблице по порядку они выглядят как , , и т. д. Согласно статье, их продукт отрабатывает до . Следовательно$x_1, \ldots, x_p$$\exp(\alpha_\text{80-89})=1.58$$\exp(\alpha_\text{male})=1.28$$\exp(\alpha_\text{no Glaucoma})=1.00$$34.5$

$$\text{Odds(Charlie)} = 34.5\times \text{Odds(Base)}.$$

$1.00=\exp(0)$$1$

Восстановление результатов как вероятностей

$0.736\%=0.00736$

$$\text{Odds(Base)} = \frac{0.00736}{1 - 0.00736} = 0.00741.$$

Следовательно, шансы Чарли

$$\text{Odds(Charlie)} = 34.5\times 0.00741 = 0.256.$$

Наконец, преобразование этого обратно в вероятности дает

$$\Pr(Y(\text{Charlie})=1) = 1 - \frac{1}{1 + 0.256} = 0.204.$$