Как рассчитать функцию правдоподобия

Срок службы трех электронных компонентов: и . Случайные величины были смоделированы как случайная выборка размера 3 из экспоненциального распределения с параметром . Функция правдоподобия, для $X_{1} = 3, X_{2} = 1.5,$ $X_{3} = 2.1$ $\theta$ $\theta > 0$

$f_{3}(x|\theta) = \theta^{3} exp(-6.6\theta)$ , где . $x = (2, 1.5, 2.1)$

И затем проблема переходит к определению MLE путем нахождения значения которое максимизирует . У меня вопрос, как определить функцию правдоподобия? Я посмотрел PDF экспоненциального распределения, но он другой. Так всегда ли функция вероятности дается мне в проблеме? Или я должен определить это сам? Если да, то как? $\theta$ $log f_{3}(x|\theta)$

distributions maximum-likelihood exponential

— Адриан
источник

Почему вы хотите сделать оценку вероятности только с 3 наблюдениями? Оценка, которую вы получите за будет предвзятой и будет иметь большое количество отклонений. Это HW?

θ

$\theta$

— Захари Блюменфельд

Вы знаете, что такое определение вероятности?

— Glen_b

Функция правдоподобия выборки представляет собой совокупную плотность участвующих случайных величин, но рассматриваемая как функция неизвестных параметров, учитывая конкретную выборку реализаций из этих случайных величин.

В вашем случае кажется, что здесь предполагается, что каждый из этих электронных компонентов следует за временем жизни (т. Е. Имеет предельное распределение), экспоненциальное распределение с идентичным параметром скорости , и поэтому предельный PDF равен: $\theta$

f_{X_{i}} (x_{i} ∣ θ) = θ e^{- θ x_{i}}, i = 1, 2, 3

$f_{X_i}(x_i\mid \theta) = \theta e^{-\theta x_i}, \;\; i=1,2,3$

Кроме того, кажется, что жизнь каждого компонента полностью независима от жизни других. В таком случае функция плотности соединения является произведением трех плотностей,

f_{X 1, X 2, X 3} (x_{1}, x_{2}, x_{3} ∣ θ) = θ e^{- θ x_{1}} \cdot θ e^{- θ x_{2}} \cdot θ e^{- θ x_{3}} = θ^{3} \cdot \exp {- θ \sum_{i = 1}^{3} x_{i}}

$f_{X1,X2,X3}(x_1,x_2,x_3\mid \theta) = \theta e^{-\theta x_1} \cdot \theta e^{-\theta x_2}\cdot \theta e^{-\theta x_3} = \theta^3\cdot \exp{\left\{-\theta \sum_{i=1}^3x_i\right\}}$

Чтобы превратить это в функцию правдоподобия выборки, мы рассматриваем ее как функцию учетом конкретной выборки . $\theta$ $x_i$

L (θ ∣ {x_{1}, x_{2}, x_{3}}) = θ^{3} \cdot \exp {- θ \sum_{i = 1}^{3} x_{i}}

$L(\theta \mid \{x_1,x_2,x_3\}) = \theta^3\cdot \exp{\left\{-\theta \sum_{i=1}^3x_i\right\}}$

где изменилась только левая часть, чтобы указать, что считается переменной функции. В вашем случае доступная выборка - это три наблюдаемых времени жизни и т. Д. . Тогда вероятность $\{x_1 = 3, x_2 =1.5, x_3 = 2.1\}$ $\sum_{i=1}^3x_i = 6.6$

L (θ ∣ {x_{1} = 3, x_{2} = 1.5, x_{3} = 2.1}) = θ^{3} \cdot \exp {- 6.6 θ}

$L(\theta \mid \{x_1 = 3, x_2 =1.5, x_3 = 2.1\}) = \theta^3\cdot \exp{\left\{-6.6\theta \right\}}$

Другими словами, по вероятности, которую вам дали, конкретный доступный образец уже вставлен в него. Обычно это не делается, т. Е. Мы обычно «останавливаемся» на теоретическом представлении вероятности для общих , затем выводим условия для его максимизации относительно , а затем включаем в условия максимизации конкретное числовое значение. выборка значений , чтобы получить конкретную оценку для . $x_i$ $\theta$ $x$ $\theta$

Правда, если посмотреть на такую вероятность, можно прояснить тот факт, что для вывода (для конкретного предположения о распределении) здесь важна сумма реализаций, а не их отдельные значения: приведенная выше вероятность не является «образцом». -специфичный "но скорее" специфичный для суммы реализаций ": если нам дадут любую другую выборку с для которой сумма ее элементов снова равна , мы получим такую же оценку для (это по сути то, что это означает, что является «достаточной» статистикой - она содержит всю информацию, которую выборка может предоставить для вывода, в соответствии с определенным предположением распределения). $n=3$ $6.6$ $\theta$ $\sum x$

— Алекос Пападопулос
источник