Ожидание на произведения высших порядков нормальных распределений

У меня есть две нормально распределенные переменные и со средним нулем и ковариационной матрицей . Я заинтересован в попытке вычислить значение в терминах записей . $X_1$ $X_2$ $\Sigma$ $E[X_1^2 X_2^2]$ $\Sigma$

Я использовал закон полной вероятности, чтобы получить но я не уверен, к чему сводятся внутренние ожидания. Есть ли другой метод здесь? $E[X_1^2 X_2^2] = E[X_1^2 E[X_2^2 | X_1]]$

Спасибо.

Редактировать: переменные также многомерные нормально распределенные.

normal-distribution conditional-expectation

— АГК
источник

есть двумерное нормальное распределение? (Просто сказать, что

являются нормальными с ковариационной матрицей

, не достаточно, чтобы сделать вывод, что совместное распределение является двумерным нормальным).

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

Σ

$\Sigma$

— Дилип Сарвате

Для конкретного приложения, которое я имею в виду,

имеют двумерное нормальное распределение по многомерной центральной предельной теореме. Я забыл упомянуть об этом в моем оригинальном посте.

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— АГК

@AGK, если вы хотите уточнить свой пост, есть кнопка «Изменить», которая позволяет вам вносить изменения. Это лучше для будущих читателей, которым не нужно искать ключевую информацию в комментариях под вопросом.

— Серебряная рыба

Ожидание явно пропорционально произведению квадратов масштабных коэффициентов . Константа пропорциональности получается путем стандартизации переменных, которая сводит к матрице корреляции с корреляцией $\sigma_{11}\sigma_{22}$ $\Sigma$ $\rho = \sigma_{12}/\sqrt{\sigma_{11}\sigma_{22}}$ .

Предполагая двумерную нормальность, в соответствии с анализом на https://stats.stackexchange.com/a/71303 мы можем изменить переменные на

X_{1} = X, X_{2} = ρ X + (\sqrt{1 - ρ^{2}}) Y

$X_1 = X,\ X_2 = \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y$

где $(X,Y)$ имеет стандартное (некоррелированное) двумерное нормальное распределение, и нам нужно только вычислить

Е ({Икс}^{2} (ρ Икс + (\sqrt{1 - ρ^{2}}) Y)^{2}) знак равно Е (ρ^{2} {Икс}^{4} + (1 - ρ^{2}) {Икс}^{2} Y^{2} + с {Икс}^{3} Y)

$\mathbb{E}\left(X^2 (\rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y)^2\right) = \mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y)$

где точное значение постоянной не имеет значения. ( - остаток от регрессии против ) Использование одномерных ожиданий для стандартного нормального распределения $c$ $Y$ $X_2$ $X_1$

E (X^{4}) = 3, E (X^{2}) = E (Y^{2}) = 1, E Y = 0

$\mathbb{E}(X^4)=3,\ \mathbb{E}(X^2) = \mathbb{E}(Y^2)=1,\ \mathbb{E}Y=0$

и отмечая, что и являются независимыми выходами $X$ $Y$

E (ρ^{2} X^{4} + (1 - ρ^{2}) X^{2} Y^{2} + c X^{3} Y) = 3 ρ^{2} + (1 - ρ^{2}) + 0 знак равно 1 + 2 ρ^{2},

$\mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y) = 3\rho^2 + (1-\rho^2) + 0 = 1 + 2\rho^2.$

Умножая это на $\sigma_{11}\sigma_{22}$ дает

Е ({Икс}_{1}^{2} {Икс}_{2}^{2}) знак равно σ_{11} σ_{22} + 2 σ_{12}^{2},

$\mathbb{E}(X_1^2 X_2^2) = \sigma_{11}\sigma_{22} + 2\sigma_{12}^2.$

Тот же метод применяется для нахождения ожидания любого многочлена в , потому что он становится многочленом в $(X_1,X_2)$ и что при раскрытии является полиномом отнезависимыхнормально распределенных переменныхи $(X, \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right)Y)$ $X$ $Y$ . От

Е ({Икс}^{2 К}) знак равно Е (Y^{2 К}) знак равно \frac{(2 К)!}{К! 2^{К}} знак равно π^{- 1 / 2} 2^{К} Γ (К + \frac{1}{2})

$\mathbb{E}(X^{2k}) = \mathbb{E}(Y^{2k}) = \frac{(2k)!}{k!2^k} = \pi^{-1/2} 2^k\Gamma\left(k+\frac{1}{2}\right)$

для интеграла (со всеми нечетными моментами, равными нулю по симметрии), можно вывести $k\ge 0$

Е ({Икс}_{1}^{2 п} {Икс}_{2}^{2 Q}) знак равно (2 Q)! 2^{- п - Q} Σ_{я знак равно 0}^{Q} ρ^{2 я} (1 - ρ^{2})^{Q - я} \frac{(2 п + 2 я)!}{(2 я)! (п + я)! (Q - я)!}

$\mathbb{E}(X_1^{2p}X_2^{2q}) = (2q)!2^{-p-q}\sum_{i=0}^q \rho^{2i}(1-\rho^2)^{q-i}\frac{(2p+2i)!}{(2i)! (p+i)! (q-i)!}$

(при всех других ожиданиях мономов, равных нулю). Это пропорционально гипергеометрической функции (почти по определению: манипуляции не являются глубокими или поучительными),

\frac{1}{π} 2^{п + Q} {(1 - ρ^{2})}^{Q} Γ (п + \frac{1}{2}) Γ (Q + \frac{1}{2})_{2} F_{1} (п + \frac{1}{2}, - Q; \frac{1}{2}; \frac{ρ^{2}}{ρ^{2} - 1}),

$\frac{1}{\pi} 2^{p+q} \left(1-\rho ^2\right)^q \Gamma \left(p+\frac{1}{2}\right) \Gamma \left(q+\frac{1}{2}\right) \, _2F_1\left(p+\frac{1}{2},-q;\frac{1}{2};\frac{\rho ^2}{\rho ^2-1}\right).$

$\left(1-\rho ^2\right)^q$ $\rho$

— Whuber
источник

Спасибо за подробный ответ! Я также думаю о связанных вопросах с другими полиномами, так что это действительно полезная структура. Это очень умная трансформация, которую я раньше не видел. Круто!

— АГК

Чтобы помочь вашему расследованию, я предоставил детали для общих полиномов. Когда я писал этот ответ, я был удивлен, осознав, что я узнал об этом преобразовании из учебника элементарной статистики Фридмана, Пизани и Пурвеса: мы учим этому первокурсникам из колледжа!

— whuber