Решение к упражнению 2.2a.16 «Надежная статистика: подход, основанный на функциях влияния»

На странице 180 Робастной статистики: подход, основанный на функциях влияния, можно найти следующий вопрос:

16: Показать, что для инвариантных по местоположению оценок всегда . Найдите соответствующую верхнюю границу для точки развала конечной выборки , причем в случае, когда нечетно или четно. $\varepsilon^*\leq\frac{1}{2}$ $\varepsilon^*_n$ $n$ $n$

Вторая часть (после периода) на самом деле тривиальна (учитывая первую), но я не могу найти способ доказать первую часть (предложение) вопроса.

В разделе книги, касающемся этого вопроса, можно найти (стр. 98):

Определение 2: точка развала конечной выборки оценки в выборке определяется как: $\varepsilon^*_n$ $T_n$ $(x_l,\ldots, x_n)$

$ε_{n}^{*} (T_{n}; x_{i}, \dots, x_{n}) := \frac{1}{n} max {m : max_{i_{1}, \dots, i_{m}} sup_{y_{1}, \dots, y_{m}} | T_{n} (z_{1}, \dots, z_{n}) | < \infty}$ $\varepsilon^*_n(T_n;x_i,\ldots,x_n):=\frac{1}{n}\max\{m:\max_{i_1,\ldots,i_m}\sup_{y_1,\ldots,y_m}\;|T_n(z_1,\ldots,z_n)|<\infty\}$
где выборка $(z_1,\ldots,z_n)$ получается путем замены $m$ точек данных $x_{i_1},\ldots,x_{i_m}$ произвольными значениями $y_1,\ldots,y_m.$

Формальное определение само по себе работает почти для страницы, но его можно рассматривать как Хотя однозначно не определено, одно может предположить, что инвариант местоположения означает, что должен удовлетворять $\varepsilon^*$

ε^{*} = lim_{n \to \infty} ε_{n}^{*}

$\varepsilon^*=\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\varepsilon^*_n$

T_{n}

$T_n$

T_{n} (x_{1}, \dots, x_{n}) = T_{n} (x_{1} + c, \dots, x_{n} + c), for all c \in R

$T_n(x_1,\ldots,x_n)= T_n(x_1+c,\ldots,x_n+c), \text{ for all } c\in \Bbb{R}$

Я (пытаюсь) ответить на вопрос Вубера в комментарии ниже. Книга определяет оценку в несколько страниц, начиная с p82, я пытаюсь воспроизвести основные части (я думаю, что это ответит на вопрос Уубера): $T_n$

Предположим, у нас есть одномерные наблюдения которые независимы и одинаково распределены (iid). Наблюдения принадлежат некоторому выборочному пространству , которое является подмножеством вещественной линии (часто просто равно самому , поэтому наблюдения могут принимать любое значение ). Параметрическая модель состоит из семейства вероятностных распределений на выборочном пространстве, где неизвестный параметр принадлежит некоторому пространству параметров $(X_1,\ldots,X_n)$ $\mathcal{H}$ $\mathbb{R}$ $\mathcal{H}$ $\mathbb{R}$ $F_\theta$ $\theta$ $\Theta$

...

Мы отождествляем выборку с ее эмпирическим распределением , игнорируя последовательность наблюдений (как это почти всегда делается). Формально , задается , где , является точечная масса 1 в . В качестве оценки мы рассматриваем вещественную статистику . В более широком смысле оценщик можно рассматривать как последовательность статистики , по одной для каждого возможного размера выборки . В идеале, наблюдения должны проводиться в соответствии с членом параметрической модели $(X_1,\ldots,X_n)$ $G_n$ $G_n$ $(1/n)\sum_{i=1}^n\Delta_{x_i}$ $\Delta_{X}$ $X$ $\theta$ $T_n=T_n(X_1,\ldots,X_n)=T_n(G_n)$ $\{T_n,n\geq 1\}$ $n$ $\{F_\theta;\theta\in\Theta\}$ , но класс всех возможных распределений вероятностей на намного больше. $\mathcal{F}(\mathcal{H})$ $\mathcal{H}$

Мы рассматриваем оценки, которые являются функционалами [т.е. для всех и ] или могут асимптотически заменяться функционалами. Это означает, что мы предполагаем, что существует функционал [где домен - это множество всех распределений для которого определен ], такой что в вероятности, когда наблюдения находятся в соответствии с истинным распределением в . Мы говорим, что $T_n(G_n)=T(G_n)$ $n$ $G_n$ $T:\mbox{domain}(T)\rightarrow\mathbb{R}$ $T$ $\mathcal{F}(\mathcal{H})$ $T$
$T_{n} (X_{1}, \dots, X_{n}) \underset{n \to \infty}{\to} T (G)$ $T_n(X_1,\ldots,X_n)\underset{n\rightarrow\infty}{\rightarrow}T(G)$ $G$ $\mbox{domain}(T)$ $T(G)$ это асимптотическое значение на . $\{T_n;n\geq 1\}$ $G$

...

В этой главе мы всегда предполагаем, что изучаемые функционалы согласованы по Фишеру (Kallianpur and Rao, 1955): что означает, что в модель оценщик асимптотически измеряет правильную величину. Понятие согласованности Фишера более подходит и элегантно для функционалов, чем обычная согласованность или асимптотическая непредвзятость.
$T (F_{θ}) = θ for all θ \in Θ$ $T(F_\theta)=\theta\;\mbox{ for all } \theta\in\Theta$ $\{T_n;n\geq 1\}$

self-study robust

— user603
источник

Как именно эта книга определяет «оценщик»? Мне кажется, что любой ограниченный оценщик должен иметь точку развала , поэтому он, безусловно, накладывает какие-то особые ограничения на ; и всегда существуют ограниченные локально-инвариантные оценки (они будут включать константы).

T_{n}

$T_n$

1

$1$

T_{n}

$T_n$

— whuber

Спасибо за расширенный материал. Кажется, что существует множество контрпримеров. Простым является оценка константы для однопараметрического семейства нормальных распределений дисперсии . Это локально-инвариантная оценка дисперсии. Его точка развала равна . Это Фишер-непротиворечиво (тривиально), но мне нужно тщательно интерпретировать определение: « » не может обязательно ссылаться на все параметры, потому что тогда никакая инвариантная по местоположению оценка не может быть непротиворечивой!

T_{n} (X_{1}, \dots, X_{n}) = 1

$T_n(X_1,\ldots,X_n)=1$

1

$1$

1

$1$

θ

$\theta$

— whuber

@whuber: Спасибо, я понимаю ваш контрпример. Я думаю, что я

— свяжусь

В старых книгах по статистике «инвариант» использовался немного иначе, чем можно было ожидать; неоднозначная терминология сохраняется. Более современный эквивалент - «эквивариантный» (см. Ссылки в конце этого поста). В настоящем контексте это означает

T_{n} (X_{1} + c, X_{2} + c, \dots, X_{n} + c) = T_{n} (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}) + c

$T_n(X_1+c,X_2+c,\ldots,X_n+c) = T_n(X_1,X_2,\ldots,X_n) + c$

для всех реальных . $c$

Тогда для решения вопроса предположим, что обладает свойством, что для достаточно большого , всех вещественных и всех , $T_n$ $n$ $c$ $m \le \varepsilon^{*}n$

| T_{n} (X + Y) - T_{n} (X) | = o (| c |)

$|T_n(\mathbf{X + Y}) - T_n(\mathbf{X})| = o(|c|)$

всякий раз , когда отличается от не более не более чем в координат. $\mathbf Y$ $\mathbf{X}$ $c$ $m$

(Это более слабое условие, чем предполагалось в определении границы разбивки. Фактически, все, что нам действительно нужно предположить, это то, что когда достаточно велико, выражение « » является некоторым значением, которое гарантированно будет меньше в размере.) $n$ $o(|c|)$ $|c|/2$

Доказательство от противного. Соответственно, предположим, что этот также эквивариантен, и предположим, что . Тогда при достаточно больших , представляет собой целое число , по которому оба и . Для любых действительных чисел определим $T_n$ $\varepsilon^{*} \gt 1/2$ $n$ $m(n) = \lfloor \varepsilon^{*}n\rfloor$ $m(n)/n \le \varepsilon^{*}$ $(n-m(n))/n \le \varepsilon^{*}$ $a,b$

t_{n} (a, b) = T_{n} (a, a, \dots, a, b, b, \dots, b)

$t_n(a, b) = T_n(a, a, \ldots, a,\ b, b, \ldots, b)$

где есть 's и ' s. Изменяя или меньше координат, мы заключаем оба $m(n)$ $a$ $n-m(n)$ $b$ $m(n)$

| t (a, b) - t (0, b) | = o (| a |)

$|t(a,b) - t(0,b)| = o(|a|)$

а также

| t (a, b) - t (a, 0) | = o (| b |) .

$|t(a,b) - t(a,0)| = o(|b|).$

При неравенство треугольника утверждает $c\gt 0$

\begin{aligned} c = | t_{n} (c, c) - t_{n} (0, 0) | & \leq | t_{n} (c, c) - t_{n} (c, 0) | + | t_{n} (c, 0) - t_{n} (0, 0) | \\ = o (c) + o (c) \\ < c / 2 + c / 2 \\ = c \end{aligned}

$\eqalign{ c = |t_n(c, c) - t_n(0, 0)| &\le |t_n(c, c) - t_n(c, 0)| + |t_n(c, 0) - t_n(0,0)| \\&= o(c) + o(c) \\&\lt c/2 + c/2 \\ &= c}$

Строгое неравенство на предпоследней линии обеспечивается при достаточно большом . Противоречие, которое оно подразумевает, , доказывает $n$ $c \lt c$ $\varepsilon^{*} \le 1/2.$

Ссылки

Е. Л. Леманн, Теория точечного оценивания . Джон Вили 1983

В тексте (глава 3, раздел 1) и сопроводительной сноске Леманн пишет

Оценщик, удовлетворяющий для всех будет называться эквивариантным ... $\delta(X_1+a, \ldots, X_n+a) = \delta(X_1,\ldots,X_n)+a$ $a$

Некоторые авторы называют такие оценки «инвариантными». Поскольку это предполагает, что оценка остается неизменной при , представляется предпочтительным зарезервировать этот член для функций, удовлетворяющих для всех . $X_i^\prime = X_i+a$ $u(x+a)=u(x)$ $x,a$

— Whuber
источник

да, я связался вчера с основным автором книги с тем же вопросом о действительном определении инвариантности (я посмотрел в указателе и не смог найти его явным образом в книге). Я проголосовал, потому что я думаю, что ваш ответ правильный, но даст автору пару дней, чтобы быть уверенным, прежде чем принять его.

— user603

Я не получил ответа от автора, но приведенные выше аргументы (в ответе и комментарии) убедили меня, что это действительно должно быть правильное толкование проблемы.

— user603