Что это за хитрость с добавлением 1 здесь?

Я смотрел на эту страницу о реализации Монте-Карло теста Лиллефорса. Я не понимаю это предложение:

В этом расчете из моделирования есть случайная ошибка. Однако из-за хитрости добавления 1 к числителю и знаменателю при вычислении значения P его можно использовать прямо, без учета случайности.

Что они подразумевают под хитростью добавления 1 к числителю и знаменателю?

Соответствующий фрагмент кода находится здесь:

n <- length(x)
nsim <- 4999
d.star <- double(nsim)
for (i in 1:nsim) {
    x.star <- rnorm(n)
    d.star[i] <- fred(x.star)
}
hist(d.star)
abline(v = d.hat, lty = 2)
## simulation-derived P-value
pval <- (sum(d.star > d.hat) + 1) / (nsim + 1)

Объяснение на указанной странице

Согласно нулевой гипотезе вероятность в точности равна если принять во внимание как случайность в данных, так и случайность в симуляции.k / n $\Pr(P \le k / n_\text{sim})$$k / n_\text{sim}$

Чтобы понять это, мы должны взглянуть на код, ключевые строки которого (значительно сокращены)

fred <- function(x) {ks.test(...)$statistic}  # Apply a statistical test to an array
d.hat <- fred(x)                              # Apply the test to the data
d.star <- apply(matrix(rnorm(n*nsim), n, nsim),
                2, fred)                      # Apply the test to nsim simulated datasets
pval <- (sum(d.star > d.hat) + 1) / (nsim + 1)# Estimate a simulation p-value

Существенная проблема заключается в том, что код не соответствует кавычке. Как мы можем примирить их? Одна попытка начинается со второй половины цитаты. Мы можем интерпретировать процедуру как включающую следующие шаги:

1. Collect независимо друг от друга и одинаково распределенные данные согласно некоторому вероятностному закону . Примените тестовую процедуру (реализованную в коде как ), чтобы получить число . G t T 0 = t ( X 1 , … , X n$X_1, X_2, \ldots, X_n$$G$$t$fred$T_0=t(X_1, \ldots, X_n)$

2. Сформировать с помощью компьютера сравнимых наборов данных, каждый из размера , в соответствии с нулевой гипотезой с вероятностью закона . Примените к каждому такому набору данных, чтобы получить чисел . n F t N T 1 , T 2 , … , T $N=n_\text{sim}$$n$$F$$t$$N$$T_1,T_2,\ldots,T_N$

3. Вычислить

   $$P = \left(\sum_{i=1}^N I(T_i \gt T_0) + 1\right) / (N+1).$$

   (« » - это индикаторная функция, реализованная посредством векторного сравнения в коде.) Правая часть понимается как случайная в силу одновременной случайности (фактической статистики теста) и случайности ( смоделированная тестовая статистика). т 0 т $I$d.star > d.hat$T_0$$T_i$

Для того, чтобы сказать , что данные соответствуют нулевой гипотезы является утверждение , что . Выберите размер теста , . Умножение обеих сторон на и вычитание показывает, что вероятность того, что для любого числа - это вероятность того, что не более из превысит . Это говорит лишь о том, что находится в верхней части отсортированного набора всей статистики испытаний . Так как (по конструкции)α 0 < α < 1 N + 1 1 P ≤ α α ( N + 1 ) α - 1 T i T 0 T 0 ( N + 1 ) α N + 1 T 0 T i F ⌊ ( N + 1 ) α ⌋ Pr ( P ≤ α ) = $F=G$$\alpha$$0 \lt \alpha \lt 1$$N+1$$1$$P\le \alpha$$\alpha$$(N+1)\alpha - 1$$T_i$$T_0$$T_0$$(N+1)\alpha$$N+1$$T_0$не зависит от всех , когда - непрерывное распределение, этот шанс будет частью общего числа, представленного целой частью ; то есть и он будет точно равен ему при условии - целое число ; то есть когда .$T_i$$F$$\lfloor (N+1)\alpha\rfloor$(N+1)& alphaк& alpha=K/(N+1

Это, безусловно, одна из вещей, которые мы хотим быть верными для любой величины, которая заслуживает того, чтобы называться «p-значением»: она должна иметь равномерное распределение на . При условии, что достаточно велико, так что любая близка к некоторой доле формы , эта будет близка к равномерной распределение. (Чтобы узнать о дополнительных условиях, необходимых для p-значения, прочитайте диалог, который я разместил на тему p-значений. )N + 1 α k / ( N + 1 ) = k / ( n sim + 1 ) $[0,1]$$N+1$$\alpha$$k/(N+1) = k/(n_\text{sim}+1)$$P$

Очевидно, что цитата должна использовать « » вместо « », где бы он ни появлялся.n $n_\text{sim}+1$$n_\text{sim}$

Я считаю, что здесь 1 добавляется к обоим, потому что наблюдаемая статистика включена в эталонное распределение; если это так, то это из-за «хотя бы такой большой» части определения p-значения.

Я не знаю наверняка, потому что текст, кажется, говорит что-то другое, но именно поэтому я бы сделал это.