Внутренняя пространственная стационарность: разве это не применимо только для небольших лагов?

Из определения внутренней стационарности:

$E[Z(x)-Z(x-h)] = 0$

Это предположение используется, например, в обычном кригинге, вместо того, чтобы предполагать постоянное среднее значение по всему пространству, мы предполагаем, что среднее значение является постоянным локально.

Если среднее значение является постоянным в окрестности, мы логически ожидаем, что разница между двумя измерениями, близкими друг к другу, будет равна нулю. Но так как среднее значение изменяется в пространстве, мы не ожидаем, что разница значений далеко друг от друга будет равна нулю?

Так не должно быть допущение внутренней стационарности:

$E[Z(x)-Z(x-h)] = 0$ для$h \to 0$

Да и нет.

да

Я помню, что Андре Журнэл давно подчеркнул

• Допущения стационарности - это решения, принимаемые аналитиком относительно того, какую модель использовать. Они не являются неотъемлемыми свойствами этого явления.

• Такие допущения являются достоверными для отклонений, потому что кригинг (по крайней мере, как это практиковалось 20+ лет назад) почти всегда был локальной оценкой, основанной на выборе близлежащих данных в пределах движущихся поисковых областей.

Эти точки подтверждают впечатление, что внутренняя стационарность является чисто локальным свойством, предполагая, что на практике ее нужно держать только в пределах типичной окрестности поиска, а затем только приблизительно.

нет

Однако математически это действительно так , что ожидаемые различия должны все быть точно равна нулю, независимо от расстояния, На самом деле, если бы все, что вы предполагали, заключалось в том, что ожидаемые различия непрерывны в лаге , вы бы вообще ничего не предполагали! Это более слабое допущение было бы равносильно утверждению отсутствия структурных разрывов в ожидании (что даже не означало бы отсутствие структурных разрывов в реализации процесса), но в противном случае его нельзя было бы использовать для построения уравнений Кригинга или даже оцените вариограмму.$|h|$$h$

Чтобы оценить, насколько слабым (и практически бесполезным) может быть предположение о средней непрерывности, рассмотрим процесс на реальной линии, для которого$Z$

$$Z(x) = U\text{ if } x \lt 0;\ Z(x) = -U\text{ otherwise }$$

где имеет стандартное нормальное распределение. График реализации будет состоять из половины линии на высоте для отрицательного и еще одной линии на высоте для положительного .$U$$u$$x$$-u$$x$

Для любых и ,$x$$h$

$$E(Z(x)-Z(x-h)) = E(Z(x)) - E(Z(x-h)) = E(\pm U) - E(\pm U) = 0 - 0 = 0$$

все же почти наверняка , показывая, что почти все реализации этого процесса являются прерывистыми в , хотя среднее значение процесса непрерывно всюду.$U\ne -U$$0$

интерпретация

Диггл и Рибейро обсуждают этот вопрос [на стр. 66]. Они говорят о собственных случайных функциях, для которых приращения предполагаются стационарными (а не только слабо стационарными):$Z(x)-Z(x-h)$

Собственные случайные функции охватывают более широкий класс моделей, чем стационарные случайные функции. Что касается пространственного прогнозирования, то основное различие между прогнозами, полученными из внутренних и стационарных моделей, состоит в том, что при использовании внутренних моделей прогноз в точке зависит от локального поведения данных; т.е. по наблюдаемым измерениям в местах, относительно близких к$x$$x$в то время как на предсказания стационарных моделей также влияет глобальное поведение. Один из способов понять это - помнить, что значение внутреннего процесса неопределенно. Как следствие, прогнозы, полученные из предполагаемой внутренней модели, имеют тенденцию колебаться вокруг локального среднего. Напротив, прогнозы, полученные из предполагаемой стационарной модели, имеют тенденцию возвращаться к глобальному среднему значению предполагаемой модели в областях, где данные являются редкими. Какой из этих двух типов поведения является более естественным, зависит от научного контекста, в котором используются модели.

Комментарий

Вместо этого, если вы хотите контролировать локальное поведение процесса, вы должны делать предположения о втором моменте приращений, . Например, когда это приближается к как , процесс является среднеквадратичным непрерывным. Когда существует процесс для которого$E([Z(x)-Z(x-h)]^{2})$$0$$h\to 0$$Z^\prime$

$$E([Z(x)-Z(x-h) - h Z^\prime(x)]^{2}) = O(h^2)$$

для всех процесс дифференцируем в среднем квадрате (с производной ).Z $x$$Z^\prime$

Ссылки

Питер Дж. Диггл и Пауло Дж. Рибейро младший, Геостатистика на основе моделей . Springer (2007)