Тест на коинтеграцию между двумя временными рядами с использованием двухэтапного метода Энгла – Грейнджера

Я пытаюсь проверить коинтеграцию между двумя временными рядами. Обе серии имеют еженедельные данные, охватывающие ~ 3 года.

Я пытаюсь сделать двухэтапный метод Энгла-Грейнджера. Мой порядок действий следующий.

1. Протестируйте каждый временной ряд для корневого модуля с помощью Augmented Dickey-Fuller.
2. Предполагая, что оба имеют единичные корни, найдите линейную аппроксимацию отношения через OLS. Затем создайте серию остатков.
3. Тест остатков для единичного корня с помощью Augmented Dickey-Fuller.
4. Завершить коинтеграцию (или нет) результатом 3.

Вопросов:

1. Этот метод выглядит хорошо? (Я студент, и я хочу анализировать свои данные законным способом, а не обязательно анализировать их самым строгим из известных методов.)
2. Если одна серия не может отклонить нулевую гипотезу с помощью ADF (и, следовательно, не имеет единичного корня) на шаге 1, разумно ли сделать вывод, что две серии не объединены, поскольку один набор данных является нестационарным? Я бы так не думал, но хочу быть уверен.
3. Оба набора данных выглядят «стохастическими», поэтому мне интересно, уместно ли использовать OLS для измерения отношения, чтобы получить остатки.

Прежде всего рассмотрим два временных ряда, и x 2 t, которые оба являются I ( 1 ) , т.е. оба ряда содержат единичный корень. Если эти две серии объединяются, то будут существовать коэффициенты, μ и β 2, такие что: $x_{1t}$$x_{2t}$$I\left(1\right)$$\mu$$\beta_{2}$$\\$

$x_{1t}=\mu+\beta_{2}x_{2t}+u_{t}\quad\left(1\right)$ $\\$

определит равновесие. Чтобы проверить коинтеграцию с использованием двухэтапного подхода Энгла-Грейнджера, мы бы

$\\$ 1) Тест серии, и х 2 т для единичных корней. Если оба являютсяI ( 1 ), перейдите к шагу 2).$x{}_{1t}$$x_{2t}$$I\left(1\right)$

$\\$ 2) Запустите определенное выше уравнение регрессии и сохраните остатки. Я определяю новый «исправление ошибок» .$\hat{u}_{t}=\hat{ecm}_{t}$

$\\$ 3) Проверьте невязки ( ) для единичного корня. Обратите внимание, что этот тест такой же, как тест на отсутствие коинтеграции, так как при нулевой гипотезе остатки не являются стационарными. Однако, если есть коинтеграция, то остатки должны быть стационарными. Помните, что распределение для ADF-теста на основе остатков не совпадает с обычным распределением DF и будет зависеть от количества оцененных параметров в статической регрессии, приведенной выше, поскольку добавление переменных в статической регрессии сместит распределения DF к осталось. Критические значения 5% для одного оцененного параметра в статической регрессии с константой и трендом составляют -3,34 и -3,78 соответственно. $\hat{ecm}_{t}$$\\$

4) Если вы отклоняете нулевое значение единичного корня в остатках (нулевое значение отсутствия коинтеграции), вы не можете отказаться от того, что две переменные объединяются. $\\$

5) Если вы хотите настроить модель с исправлением ошибок и исследовать долгосрочные отношения между двумя сериями, я бы порекомендовал вам вместо этого настроить модель ADL или ECM, поскольку к Энгл Статическая регрессия Грейнджера, и мы не можем ничего сказать о значимости оцениваемых параметров в статической регрессии, поскольку распределение зависит от неизвестных параметров. Чтобы ответить на ваши вопросы: 1) Как видно выше, ваш метод верен. Я просто хотел отметить, что критические значения тестов на основе остаточных значений не совпадают с критическими значениями обычных тестов ADF. $\\$

$\\$

(2) Если один из рядов является стационарным, т. Е. а другой - I ( 1 ), они не могут быть коинтегрированы, поскольку коинтеграция подразумевает, что они имеют общие стохастические тренды и что линейные отношения между ними являются стационарными, поскольку стохастический тренды отменится и тем самым создаст постоянные отношения. Чтобы увидеть это, рассмотрим два уравнения: $I\left(0\right)$$I\left(1\right)$$\\$

$x_{1t}=\mu+\beta_{2}x_{2t}+\varepsilon_{1t}\quad\left(2\right)$

$\Delta x_{2t}=\varepsilon_{2t}\quad\left(3\right)$

Обратите внимание, что , x 1 t ∼ I ( 1 ) , x 2 t ∼ I ( 1 ) , u t = β ′ x t ∼ I ( 0 ) , ε 1 t ∼ i . я . д $\varepsilon_{2t}\sim i.i.d.$$x_{1t}\sim I\left(1\right)$$x_{2t}\sim I\left(1\right)$$u_{t}=\beta\prime x_{t}\sim I\left(0\right)$$\varepsilon_{1t}\sim i.i.d.$

$\\$

Сначала мы решаем для уравнения и получаем $\left(3\right)$$\\$

$x_{2t}=x_{0}+\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}$ $\\$

Включите это решение в уравнение чтобы получить: $\left(2\right)$$\\$

$x_{1t} =\mu+\beta_{2}\left\{ x_{0}+\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}\right\} +\varepsilon_{1t} x_{1t} =\mu+\beta_{2}x_{0}+\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}+\varepsilon_{1t}$ $\\$

Мы видим в двух сериях общий стохастический тренд. Затем мы можем определить вектор коинтеграции такой, что: $\beta=\left(1\;-\beta_{2}\right)\prime$$\\$

$u_{t}=\beta\prime x_{t}=\left(1\;-\beta_{2}\right)\left(\begin{array}{c} \mu+\beta_{2}x_{0}+\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}+\varepsilon_{1t}\\ x_{0}+\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i} \end{array}\right)$

$\\$

$u_{t}=\beta\prime x_{t}=\mu+\beta_{2}x_{0}+\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}+\varepsilon_{1t}-\beta_{2} x_{0}-\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}$

$\\$

$u_{t}=\beta\prime x_{t}=\mu+\varepsilon_{1t}$

Мы видим, что путем определения правильного вектора коинтеграции два стохастических тренда отменяются, и связь между ними является стационарной ( ). Если бы x 1 t было I ( 0 ), то стохастический тренд в x 2 t не был бы удален путем определения отношения коинтеграции. Так что да, вам нужны обе ваши серии, чтобы быть я ( 1 ) ! $u_{t}=\beta\prime x_{t}\sim I\left(0\right)$$x_{1t}$$I\left(0\right)$$x_{2t}$$I\left(1\right)$$\\$

$\\$

$\left(1\right)$$T^{-2}$$I\left(1\right)$$I\left(1\right)$