Интересный вывод R в квадрате

Несколько лет назад я обнаружил эту идентичность путем экспериментов, играя с данными и преобразованиями. После объяснения этому моему профессору статистики он пришел в следующий класс с одностраничным доказательством с использованием векторной и матричной записи. К сожалению, я потерял бумагу, которую он дал мне. (Это было еще в 2007 году)

Кто-нибудь может восстановить доказательство?

Пусть будут ваши исходные точки данных. Определите новый набор точек данных, повернув исходный набор на угол ; эти точки . $(x_i,y_i)$ $\theta$ $(x'_i,y'_i)$

Значение R в квадрате исходного набора точек равно отрицательному произведению производной по отношению к натурального логарифма стандартного отклонения для каждой координаты нового набора точек, каждая из которых оценивается в $\theta$ $\theta=0$

$r^2= - \left(\left.\frac{d}{d\theta}\ln(\sigma_{x'})\right|_{\theta=0} \right) \left(\left.\frac{d}{d\theta}\ln(\sigma_{y'})\right|_{\theta=0} \right)$

regression r-squared

— sheppa28
источник

\begin{aligned} {\frac{d {Икс}^{'}}{d θ} |}_{θ знак равно 0} & знак равно - Y, \\ {\frac{d Y^{'}}{d θ} |}_{θ знак равно 0} & знак равно Икс, \end{aligned}

$\begin{align} \left.\frac{dx'}{d\theta}\right|_{\theta=0}&=-y,\\ \left.\frac{dy'}{d\theta}\right|_{\theta=0}&=x, \end{align}$

s_{x}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}

$s_x^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$

{\frac{d s_{{Икс}^{'}}^{2}}{d θ} |}_{θ знак равно 0} знак равно - 2 s_{Икс Y}

$\left.\frac{ds_{x'}^2}{d\theta}\right|_{\theta=0}=-2s_{xy}$

{\frac{d s_{Y^{'}}^{2}}{d θ} |}_{θ знак равно 0} знак равно 2 s_{Икс Y}

$\left.\frac{ds_{y'}^2}{d\theta}\right|_{\theta=0}=2s_{xy}$

{\frac{d}{d θ} пер (s_{{Икс}^{'}}) |}_{θ знак равно 0} знак равно - \frac{s_{Икс Y}}{s_{Икс}^{2}}, {\frac{d}{d θ} пер (s_{Y^{'}}) |}_{θ знак равно 0} знак равно \frac{s_{Икс Y}}{s_{Y}^{2}}

$\left.\frac{d}{d\theta}\ln(s_{x'})\right|_{\theta=0} = -\frac{s_{xy}}{s_x^2},\quad \left.\frac{d}{d\theta}\ln(s_{y'})\right|_{\theta=0} = \frac{s_{xy}}{s_y^2}$

Мне любопытно узнать, как вы пришли к такому уравнению, особенно какой конкретный эксперимент выявил такую идентичность.

— Khashaa
источник

Спасибо! На самом деле это намного проще, чем его доказательство, которое я помню. Идентичность появилась, просто играя с данными годами ранее; для ударов я просто делал повороты, стандартные отклонения, производные, логарифмы, сложение, умножение и т. д. У меня исходная r ^ 2 была горизонтальной линией и строила график любой функции, созданной как функция тета. Иногда они пересекались, но под «странными» углами; иногда никогда не пересекался. Затем они как-то пересеклись в тета = ноль. Мысль это было интересно. Протестировал это с другими случайными данными, и это все еще держалось. Я не видел, как это работает, но думал, аккуратные личности.

— sheppa28