Как найти среднее значение суммы зависимых переменных?

Я знаю, что среднее значение суммы независимых переменных является суммой средних значений каждой независимой переменной. Это относится и к зависимым переменным?

Ожидание (с учетом среднего) является линейным оператором .

Это означает, что , среди прочего, для любых двух случайных величин и (для которых существуют ожидания) ), независимо от того, являются ли они независимыми или нет.$\mathbb{E}(X + Y) = \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y)$$X$$Y$

Мы можем обобщить (например, по индукции ), чтобы так пока существует каждое ожидание .$\mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n \mathbb{E}(X_i)$$\mathbb{E}(X_i)$

Так что да, среднее значение суммы совпадает с суммой среднего, даже если переменные являются зависимыми. Но обратите внимание, что это не относится к дисперсии! Таким образом, в то время как для независимых переменных или даже переменных, которые являются зависимыми, но некоррелированными , общая формула имеет вид где - ковариация переменных.$\mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y)$V a r ( X + Y ) = V a r ( X ) + V a r ( Y ) + 2 C o v ( X , Y ) C o v$\mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y) + 2\mathrm{Cov}(X, Y)$$\mathrm{Cov}$

TL; ДР:
Предполагая, что оно существует, среднее значение является ожидаемым значением, а ожидаемое значение является интегралом, а интегралы обладают свойством линейности по отношению к суммам.

TS; ДР:
Поскольку мы имеем дело с суммой случайных величин , т.е. функции многих из них, среднее значение суммы E ( Y n ) зависит от их совместного распределения ( мы предполагаем , что все средства существуют и являются конечными) Обозначая X многомерный вектор п с.в., их совместная плотность может быть записана в виде F х ( х ) = F X 1 , . , , , $Y_n = \sum_{i=1}^n X_i$$E(Y_n)$$\mathbf X$$n$и их совместная поддержка D=S X 1 ×. , , ×S X n Используязакон бессознательного статистики, мы имеемкратныйинтеграл$f_{\mathbf X}(\mathbf x)= f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)$$D = S_{X_1} \times ...\times S_{X_n}$

.

$$E[Y_n] = \int_D Y_nf_{\mathbf X}(\mathbf x)d\mathbf x$$

При некоторых условиях регулярности мы можем разложить кратный интеграл в итерационный интеграл:$n$

$$E[Y_n] = \int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}\Big[\sum_{i=1}^n X_i\Big]f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n$$

и используя линейность интегралов, мы можем разложить в

$$= \int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n \; + ...\\ ...+\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_nf_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n$$

Для каждого итеративного интеграла мы можем перестроить порядок интегрирования так, чтобы в каждом внешнее интегрирование относилось к переменной, которая находится вне плотности соединения. А именно,$n$

$$\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n = \\\int_{S_{X_1}}x_1\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_2}}f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_2...dx_ndx_1$$

и вообще

= ∫ S

$$\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_j}}...\int_{S_{X_1}}x_jf_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_j...dx_n =$$ $$=\int_{S_{X_j}}x_j\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_{j-1}}}\int_{S_{X_{j+1}}}...\int_{S_{X_1}}f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_{j-1}dx_{j+1}......dx_ndx_j$$

$n$$n$$\int_{S_{X_j}}x_jf_{X_j}(x_j)dx_j$

Собрав все вместе, мы приходим к

$$E[Y_n ] = E[\sum_{i=1}^n X_i] = \int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1}(x_1)dx_1 +...+\int_{S_{X_n}}x_nf_{X_n}(x_n)dx_n$$

Но теперь каждый простой интеграл является ожидаемым значением каждой случайной величины в отдельности, поэтому

$$E[\sum_{i=1}^n X_i] = E(X_1) + ...+E(X_n)$$ $$= \sum_{i=1}^nE(X_i)$$

Обратите внимание, что мы никогда не ссылались на независимость или не независимость задействованных случайных величин, но мы работали исключительно с их совместным распределением.