Эконометрика байесовского подхода к методологии исследования событий

Исследования событий широко распространены в экономике и финансах для определения влияния события на цену акций, но они почти всегда основаны на частых рассуждениях. Регрессия OLS - в течение отчетного периода, отличного от окна событий, - обычно используется для определения параметров, необходимых для моделирования нормальной доходности актива. Затем определяется статистическая значимость кумулятивных ненормальных доходностей ( ) для актива после события во время указанного окна события от до . Проверка гипотезы используется для определения того, являются ли эти результаты значительными и, следовательно, действительно ненормальными или нет. Таким образом: $\text{CAR}$ $i$ $T_1$ $T_2$

$H_0 : \text{CAR}_i = 0$ , где

$\text{CAR}_i = \sum_{t=T_1}^{T_2} \text{AR}_{i,t} = \sum_{t=T_1}^{T_2} \left( r_{i,t} -\mathbb{E}[r_{i,t}] \right)$ и

$\mathbb{E}[r_{i,t}]$ - доходность актива, предсказанная моделью.

Если число наших наблюдений достаточно велико, мы можем предположить асимптотическую нормальность распределения доходности активов, но это не может быть проверено для меньшего размера выборки.

Можно утверждать, что из-за этого исследования с участием одной фирмы (как требуется, например, в судебном процессе) должны следовать байесовскому подходу, поскольку допущение о бесконечном количестве повторений гораздо «дольше проверяется», чем в случае нескольких фирм. Тем не менее, частотный подход остается обычной практикой.

Учитывая скудную литературу по этому вопросу, мой вопрос заключается в том, как лучше всего подходить к изучению событий - аналогично методологии, изложенной выше и обобщенной в MacKinlay, 1997 - с использованием байесовского подхода.

Хотя этот вопрос возникает в контексте эмпирических корпоративных финансов, он на самом деле касается эконометрики байесовской регрессии и логического вывода, а также различий в рассуждениях за частыми и байесовскими подходами. В частности:

Как мне лучше всего подходить к оценке параметров модели, используя байесовский подход (предполагая теоретическое понимание байесовской статистики, но практически нет опыта использования ее для эмпирических исследований).
Как проверить статистическую значимость после вычисления кумулятивных ненормальных результатов (используя нормальные результаты модели)?
Как это можно реализовать в Matlab?

bayesian econometrics finance

— Constantin
источник

(1.) прост: используйте байесовскую линейную регрессию . (2.) более сложно, потому что проверка значимости не является байесовской вещью. Единственное, что вы можете сделать, это сравнить вероятность различных моделей, и не является основой модели, потому что не является параметром модели. Какова цель ? Какие решения принимаются на его основе?

CAR = 0

$\text{CAR} = 0$

CAR

$\text{CAR}$

CAR

$\text{CAR}$

— Энди Джонс

Я ищу доказательства в поддержку моего предположения о том, что исследуемое событие влияет на цену акций (в этом случае значение отличается от нуля, поскольку оно рассчитывается во время окна события относительно нормальной доходности, которая равна рассчитывается за отчетный период до события). Меня интересует, подтверждают ли данные гипотезу о том, что действительно существует ненулевой а также по величине. Я понимаю, что статистическая значимость не является чем-то особенным в байесовской статистике, но какую интерпретацию предлагает этот метод? Могу ли я применить эквивалент проверки гипотез?

C A R

$CAR$

C A R

$CAR$

— Константин

Если вы хотите доказать, что байесовский подход более применим к небольшим выборкам с размером , то неизбежно, что априор будет слишком громко говорить с такой выборкой.

n = 1

$n=1$

— StasK

Разве я не могу использовать неинформативный априор?

— Константин

Ответы:

Как уже упоминалось в комментариях, модель, которую вы ищете, - это байесовская линейная регрессия . И поскольку мы можем использовать BLR для вычисления апостериорного прогнозного распределения для любого времени , мы можем численно оценить распределение . $p(r_t|t, \mathcal{D}_\text{ref})$ $t$ $p(\text{CAR}|\mathcal{D}_\text{event}, \mathcal{D}_\text{ref})$

Дело в том, что я не думаю, что распространение по - это то, что вы действительно хотите. Непосредственная проблема заключается в том, что имеет нулевую вероятность. Основная проблема заключается в том, что «Байесовская версия тестов гипотез» сравнивает модели по их байесовскому фактору , но для этого необходимо определить две конкурирующие модели. И не являются моделями (или, по крайней мере, они не являются моделями без какого-либо чрезвычайно неестественного жонглирования числами). $\text{CAR}$ $p(\text{CAR} = 0|\mathcal{D}_\text{event}, \mathcal{D}_\text{ref})$ $\text{CAR} = 0, \text{CAR} \neq 0$

Из того, что вы сказали в комментариях, я думаю, что вы на самом деле хотите ответить

Объясняются ли и и той же моделью или разными? $\mathcal{D}_\text{ref}$ $\mathcal{D}_\text{event}$

который имеет аккуратный байесовский ответ: определить две модели

$M_0$ : все данные в взяты из одного и того же BLR. Чтобы вычислить предельную вероятность этой модели, вы должны рассчитать предельную вероятность подбора BLR для всех данные. $\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}$ $p(\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}|M_0)$
$M_1$ : данные в и взяты из двух разных BLR. Чтобы рассчитать предельное правдоподобие этой модели, вы должны добавить BLR в и независимо (хотя и с использованием одних и тех же гиперпараметров!), затем возьмите произведение двух предельных правдоподобий BLR. $\mathcal{D}_\text{ref}$ $\mathcal{D}_\text{event}$ $p(\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}|M_1)$ $\mathcal{D}_\text{ref}$ $\mathcal{D}_\text{event}$

Сделав это, вы можете рассчитать коэффициент Байеса

\frac{p (D_{ref}, D_{event} | M_{1})}{p (D_{ref}, D_{event} | M_{0})}

$\frac{p(\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}|M_1)}{p(\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}|M_0)}$

решить, какая модель более правдоподобна.

— Энди Джонс
источник

Я не думаю, что отдельная модель для периода события была бы непосредственно применима к моему конкретному вопросу исследования, потому что нет другого фактора риска, который я мог бы добавить, чтобы объяснить возвращение во время окна события. Я рассматриваю это событие как возмущение относительно нормальной прибыли от моей модели оценки активов, поэтому сравнение двух моделей на самом деле неосуществимо. Разве невозможно построить доверительный интервал для ? Таким образом, я мог бы проверить, находится ли 0 в пределах определенного интервала относительно оценки ML, нет?

C A R

$CAR$

— Константин

Байесовский вариант доверительных интервалов является достоверным интервалом , и да, вы можете использовать распределение для его создания. Это не проверка гипотезы, хотя.

CAR

$\text{CAR}$

— Энди Джонс

Я думаю, что я, возможно, плохо объяснил одну и ту же модель / разные модели - выше, что я имел в виду под «другой моделью», было «разными параметрами». В один набор параметров используется для объяснения всех данных. В один набор параметров используется для объяснения обучающих данных, а другой - для объяснения тестовых данных. Это справедливое сравнение, потому что, хотя имеет в два раза больше параметров, которые он может вписать в данные (увеличивая его первостепенную вероятность), он извлекает в два раза больше параметров из предыдущего (что снижает его предельную вероятность).

M_{0}

$M_0$

M_{1}

$M_1$

M_{1}

$M_1$

— Энди Джонс

Хорошо, я понял концепцию. Это выглядит действительно элегантно. Как именно я бы указал две модели? Не могли бы вы порекомендовать какую-либо литературу или смежные концепции для изучения?

— Константин

Хотя это противоречиво, существует такая вещь, как байесовский точечный тест с нулевой или острой гипотезой. Это просто соотношение шансов с прерывистым априором в . Это является спорным , поскольку большинство моделей не дают хорошее оправдание для смеси непрерывных и дискретных настоятелей. Изучение событий является возможным исключением из этого правила.

{CAR}_{i} = 0

$\text{CAR}_i=0$

— Jayk

Вы не можете провести исследование событий с одной фирмой.

К сожалению, вам нужны данные панели для любого исследования событий. Исследования событий фокусируются на доходах за отдельные периоды времени до и после событий. Без многочисленных постоянных наблюдений за период времени до и после события невозможно отличить шум (специфическое изменение фирмы) от воздействия события. Как отмечает StasK, даже при наличии всего нескольких фирм шум будет доминировать.

Тем не менее, с группой многих фирм вы все еще можете делать байесовскую работу.

Как оценить нормальные и ненормальные доходы

Я собираюсь предположить, что модель, которую вы используете для нормального возврата, выглядит как стандартная модель арбитража. Если этого не произойдет, вы сможете адаптировать остальную часть этого обсуждения. Вы захотите дополнить свою «нормальную» регрессию возврата серией фиктивных значений для даты относительно даты объявления, : $S$

r_{i t} = α_{i} + γ_{t - S} + r_{m, t}^{T} β_{i} + e_{i t}

$r_{it}=\alpha_{i}+\gamma_{t-S}+r_{m,t}^T\beta_i+e_{it}$

РЕДАКТИРОВАТЬ: Должно быть, включается только если . Одна из проблем с этим подходом заключается в том, что будет информироваться данными до и после события. Это не точно соответствует традиционным исследованиям событий, где ожидаемые доходы рассчитываются только до события. $\gamma_{s}$ $s>0$ $\beta_i$

Эта регрессия позволяет вам говорить о чем-то похожем на серию CAR, которую мы обычно видим, где у нас есть график средней ненормальной доходности до и после события с возможно некоторыми стандартными ошибками:

введите описание изображения здесь

( бесстыдно взято из Википедии )

Вам нужно придумать структуру распределения и ошибок для , вероятно, нормально распределенных, с некоторой дисперсионно-ковариантной структурой. Затем вы можете настроить предварительное распределение для , и и запустить байесовскую линейную регрессию, как было упомянуто выше. $e_{it}$ $\alpha_{i}$ $\beta_i$ $\gamma_s$

Изучение эффектов объявления

На дату объявления разумно предположить, что могут быть некоторые ненормальные возвращения ( ). Новая информация только что была выпущена на рынок, поэтому реакция, как правило, не является нарушением каких-либо теорий арбитража или эффективности. Ни вы, ни я не знаем, какие могут быть эффекты объявления. Там тоже не всегда много теоретических указаний. Поэтому для тестирования может потребоваться гораздо больше конкретных знаний, чем у нас в нашем распоряжении (см. Ниже). $\gamma_0\neq 0$ $\gamma_0=0$

Но часть привлекательности байесовского анализа заключается в том, что вы можете исследовать все апостериорное распределение . Это позволяет вам в некотором роде ответить на более интересные вопросы, такие как «Какова вероятность того, что объявление избыточной прибыли отрицательно?» Так что для ненормальной прибыли на дату объявления я бы предложил отказаться от строгих проверок гипотез. В любом случае они вас не интересуют - в большинстве исследований событий вы действительно хотите знать, какой может быть ценовая реакция на объявление, а не то, чем она не является! $\gamma_0$

В этом ключе одним интересным резюме ваших может быть вероятность того, что . Другой может быть вероятность того, что выше, чем множество пороговых значений, или квантили апостериорного распределения для . Наконец, вы всегда можете построить апостериор вместе со средним значением, медианой и модой. Но опять же строгие проверки гипотезы могут оказаться не тем, что вы хотите. $\gamma_0\geq 0$ $\gamma_0$ $\gamma_0$ $\gamma_0$

Однако для дат до и после объявления, строгая проверка гипотез может сыграть важную роль, потому что эти результаты можно рассматривать как тесты сильной и полужесткой эффективности формы.

Тестирование на нарушения полусильной формы эффективности

Эффективность полусильной формы и отсутствие операционных издержек подразумевают, что цены на акции не должны продолжать корректироваться после объявления о событии. Это соответствует пересечению острых гипотез, что . $\gamma_{s> 0}=0$

Байесовцам неудобны тесты этой формы, , называемые «острыми» тестами. Зачем? Давайте на секунду возьмем это из контекста финансов. Если бы я спросил вас , чтобы сформировать до более чем средний доход американских граждан, вы, вероятно , даст мне непрерывное распределение, над возможными доходами, может быть , достигая максимума около $ 60 000. Если вы затем взяли выборку американских доходов и попытались проверить гипотезу о том, что средняя численность населения составляла ровно вы бы использовали коэффициент Байеса: $\gamma_{s}=0$ $\bar x$ $f$ $X=\{x_i\}_{i=1}^n$ $\$60,000$

P (\bar{x} = $ 60, 000 | X) = \frac{\int_{\bar{x} = $ 60, 000} P (X) f (\bar{x})}{\int_{\bar{x} \neq $ 60, 000} P (X) f (\bar{x})}

$P(\bar{x}=\$60,000|X)=\dfrac{\int_{\bar{x}=\$60,000} P(X) f(\bar{x})}{\int_{\bar{x}\neq \$60,000} P(X) f(\bar{x})}$

Интеграл сверху равен нулю, потому что вероятность отдельной точки из непрерывного априорного распределения равна нулю. Интеграл снизу будет равен 1, поэтому . Это происходит из-за постоянного априора , а не из-за чего-либо существенного для природы байесовского вывода. $P(\bar{x}=\$60,000|X)=0$

Во многих отношениях тесты, которые являются тестами оценки активов. Оценка активов странна для байесовцев. Почему это странно? Потому что, в отличие от моего предыдущего превышения доходов, строгое применение некоторых гипотез эффективности предсказывает пересечение ровно 0 после события. Любое положительное или отрицательное является нарушением полусильной формы и потенциально огромной возможностью получения прибыли. Таким образом, действительный априор может поставить положительную вероятность на . Именно такой подход принят в работе Харви и Чжоу (1990) . Вообще, представьте, что у вас есть априор с двумя частями. С вероятностью вы верите в эффективность сильной формы ( $\gamma_{s> 0}=0$ $\gamma_{s>0}$ $\gamma_{s>0} =0$ $p$ $\gamma_{s\neq 0} =0$ ) и с вероятностью вы не верите в эффективность сильной формы. Если вы знаете, что эффективность сильной формы ложна, вы думаете, что существует непрерывное распределение по , . Затем вы можете построить критерий Байеса: $1-p$ $\gamma_{s>0}$ $f$

P (γ_{s > 0} = 0 | data) = \frac{P (data | γ_{s > 0} = 0) p}{\int_{γ_{s > 0} \neq 0} P (data | γ_{s > 0}) (1 - p) f (γ_{s > 0})} > 0

$P(\gamma_{s> 0} =0|\text{data}) = \dfrac{P(\text{data}|\gamma_{s> 0}=0)p}{\int_{\gamma_{s> 0}\neq 0} P(\text{data}|\gamma_{s> 0})(1-p)f(\gamma_{s> 0})}>0$

Этот тест работает, потому что при условии, $\gamma_{s>0}=0$ что сильная форма имеет значение true, вы должны знать, что . В этом случае ваш предшественник теперь представляет собой смесь непрерывных и дискретных распределений.

Наличие точного теста не исключает использования более тонких тестов. Нет причин, по которым вы не можете проверить распределение же, как я предложил для . Это может быть более интересно, особенно потому, что это не зависит от убеждения, что операционные издержки не существуют. Интервалы Credibile могут быть сформированы, и на основе ваших представлений о транзакционных издержках вы можете построить модельные тесты на основе интервалов . Следуя Brav (2000), вы также можете прогнозировать плотности, основанные на «нормальной» модели возврата ( ), для сравнения с фактическими доходами, как мост между байесовскими и частыми методами. $\gamma_{s> 0}$ $\gamma_{s=0}$ $\gamma_{s>0}$ $\gamma_s=0$

Накопленная ненормальная доходность

Все до сих пор было обсуждением аномальных возвращений. Итак, я собираюсь ехать быстро в автомобиль:

{CAR}_{τ} = \sum_{t = 0}^{τ} γ_{t}

$\text{CAR}_\tau=\sum_{t=0}^\tau \gamma_{t}$

Это близкий аналог среднего совокупного ненормального дохода, основанного на остатках, к которым вы привыкли. Вы можете найти апостериорное распределение, используя числовую или аналитическую интеграцию, в зависимости от вашего предшествующего уровня. Поскольку нет никаких оснований предполагать, что , нет никаких оснований предполагать, что , поэтому я бы рекомендовал тот же анализ, что и с эффектами объявления, без проверки четких гипотез. $\gamma_0=0$ $\text{CAR}_{t>0}=0$

Как реализовать в Matlab

Для простой версии этих моделей вам просто нужна обычная старая байесовская линейная регрессия. Я не использую Matlab , но похоже , что есть версия здесь . Вероятно, это работает только с сопряженными приорами.

Для более сложных версий, например теста для точных гипотез, вам, вероятно, понадобится сэмплер Гиббса. Я не знаю ни одного готового решения для Matlab. Вы можете проверить наличие интерфейсов для JAGS или BUGS.

— jayk
источник

Спасибо за этот обширный и очень полезный ответ! По поводу вашего первого замечания: действительно ли это так, даже если меня интересует только влияние конкретного законодательства на конкретную фирму (т. Е. Влияние события только для небольшого числа фирм $n\geq 1$ )? Если в этом случае все еще необходимо увеличить размер выборки, сколько фирм потребуется, и как мне выбрать их?

— Константин

Эффект конкретного законодательства может быть невозможно найти. Если это закон, применяемый (скажем) к конкретной отрасли, будет трудно отделить отраслевые тенденции от законодательства. Я бы определенно предложил более 30 фирм, если это возможно. Вы всегда можете проверить, сильно ли отличаются ваш предшествующий и задний. Если ваш апостериал не сильно сместился от вашего предыдущего, скорее всего, размер вашей выборки слишком мал.

— Джейк

Сможете ли вы дать мне ссылку на исследование событий, которое использует фиктивные переменные для дат до / после события? До сих пор я не смог найти эту методологию в литературе. Я был бы очень признателен!

— Константин

Я не видел ни одного, но я думаю, что метод имеет смысл в контексте (с оговорками, которые я поставил). В качестве альтернативы можно было бы оценить ваши параметры по датам предварительного объявления, а затем использовать апостериор для получения прибыли в будущем, как в статье Брава, которую я упоминал выше.

— Джейк