R-квадрат в квантильной регрессии

Я использую квантильную регрессию, чтобы найти предикторы 90-го процентиля моих данных. Я делаю это в R, используя quantregпакет. Как я могу определить для квантильной регрессии, которая укажет, насколько изменчивость объясняется переменными предиктора?$r^2$

Что я действительно хочу знать: «Любой метод, который я могу использовать, чтобы найти, сколько изменчивости объясняется?». Уровни значимости по значениям P доступны в выходе команды: summary(rq(formula,tau,data)). Как я могу получить хорошее состояние?

Koenker и Machado описывают , локальную меру качества соответствия в определенном ( ) квантиле. R 1$^{[1]}$$R^1$$\tau$

Пусть$V(\tau) = \min_{b}\sum \rho_\tau(y_i-x_i'b)$

Пусть и будут оценками коэффициентов для полной модели и ограниченной модели, и пусть и будут соответствующие термины. ~ β (τ) V ~ V$\hat{\beta}(\tau)$$\tilde{\beta}(\tau)$$\hat{V}$$\tilde{V}$$V$

Они определяют критерий соответствия .$R^1(\tau) = 1-\frac{\hat{V}}{\tilde{V} }$

Кенкер дает код для здесь ,$V$

rho <- function(u,tau=.5)u*(tau - (u < 0))
V <- sum(rho(f$resid, f$tau))

Поэтому, если мы вычисляем для модели с использованием только перехвата ( - или в фрагменте кода ниже) и затем неограниченной модели ( ), мы можем вычислить это - по крайней мере, условно - чем-то похож на обычный .~ V V R $V$$\tilde{V}$V0$\hat{V}$R1 <- 1-Vhat/V0$R^2$

Изменить: В вашем случае, конечно, второй аргумент, который будет вставлен в, где f$tauнаходится в вызове во второй строке кода, будет любым значением, которое tauвы использовали. Значение в первой строке просто устанавливает значение по умолчанию.

«Объяснение отклонения от среднего значения» на самом деле не то, что вы делаете с квантильной регрессией, поэтому не стоит ожидать, что будет действительно эквивалентный показатель.

Я не думаю, что концепция хорошо переводит квантильную регрессию. Вы можете определить различные более или менее аналогичные величины, как здесь, но независимо от того, что вы выберете, у вас не будет большинства свойств, которые имеет в регрессии OLS. Вы должны четко понимать, какие свойства вам нужны, а какие нет - в некоторых случаях может быть возможно иметь показатель, который делает то, что вы хотите.R $R^2$$R^2$

-

$[1]$ Koenker, R and Machado, J (1999),
Goodness of Fit и связанные процессы вывода для квантильной регрессии,
журнал Американской статистической ассоциации, 94 : 448, 1296-1310.

Мера псевдо- предложенная Koenker и Machado (1999) в JASA, измеряет степень соответствия, сравнивая сумму взвешенных отклонений для интересующей модели с той же суммой из модели, в которой появляется только пересечение. Рассчитывается как$R^2$

где - подогнанный квантиль th для наблюдения , а - подогнанное значение только для перехвата модель.$\hat y_i =\alpha_{\tau}+\beta_{\tau}x$$\tau$$i$$\bar y=\beta_{\tau}$

$R_1(\tau)$ должно лежать в , где 1 будет соответствовать идеальной подгонке, поскольку числитель, состоящий из взвешенной суммы отклонений, будет равен нулю. Это локальная мера соответствия для QRM, поскольку она зависит от , в отличие от глобального из OLS. Это, возможно, и является источником предупреждений об использовании этого: если ваша модель подходит к хвосту, нет гарантии, что она подходит в любом другом месте. Этот подход также может быть использован для сравнения вложенных моделей.$[0,1]$$\tau$$R^2$

Вот пример в R:

library(quantreg)
data(engel)

fit0 <- rq(foodexp~1,tau=0.9,data=engel)
fit1 <- rq(foodexp~income,tau=0.9,data=engel)

rho <- function(u,tau=.5)u*(tau - (u < 0))
R1 <- 1 - fit1$rho/fit0$rho

Это может быть выполнено более элегантно.