В чем логика метода моментов?

Почему в «Методе моментов» мы приравниваем выборочные моменты к моментам совокупности для нахождения оценщика точек?

Где за этим стоит логика?

intuition method-of-moments

Было бы неплохо, если бы в нашем сообществе был физик, чтобы заняться этим.

— Mugen

@ Муген, я не вижу никакого отношения к физике.

— Аксакал

@Aksakal они тоже используют моменты функций в физике, и всегда приятно, когда кто-то проводит параллель для лучшей интерпретации.

— Mugen

Как упомянуто в этом ответе , закон больших чисел обеспечивает обоснование (хотя и асимптотическое) для оценки момента населенности по выборочному моменту, что приводит к (часто) простым, последовательным оценкам

— Glen_b -Reinstate Monica

Разве не вся идея состоит в том, чтобы представлять параметры с помощью моментов? Например, если вы попытаетесь оценить параметр распределения Пуассона, найдя среднее значение (первый момент), вы можете использовать его в качестве оценки для вашего параметра лямбда.

— denis631

Ответы:

Выборка, состоящая из реализаций от одинаково и независимо распределенных случайных величин, является эргодической. В таком случае «выборочные моменты» являются последовательными оценками теоретических моментов общего распределения, если теоретические моменты существуют и являются конечными. $n$

Это означает, что

\begin{matrix} (1) & {\hat{μ}}_{k} (n) = μ_{k} (θ) + e_{k} (n), e_{k} (n) \overset{p}{\to} 0 \end{matrix}

$\hat \mu_k(n) = \mu_k(\theta) + e_k(n), \;\;\; e_k(n) \xrightarrow{p} 0 \tag{1}$

Таким образом, приравнивая теоретический момент с соответствующим моментом выборки, мы имеем

{\hat{μ}}_{К} (N) знак равно μ_{К} (θ) \Rightarrow \hat{θ} (N) знак равно μ_{К}^{- 1} ({\hat{μ}}_{К} (N)) знак равно μ_{К}^{- 1} [μ_{К} (θ) + е_{К} (N)]

$\hat \mu_k(n) = \mu_k(\theta) \Rightarrow \hat \theta(n) = \mu_k^{-1}(\hat \mu_k(n)) = \mu_k^{-1}[\mu_k(\theta) + e_k(n)]$

Так ( не зависит от ) $\mu_k$ $n$

Plim \hat{θ} (N) знак равно Plim [μ_{К}^{- 1} (μ_{К} (θ) + е_{К})] знак равно μ_{К}^{- 1} (μ_{К} (θ) + Plim е_{К} (N))

$\text{plim} \hat \theta(n) = \text{plim}\big[\mu_k^{-1}(\mu_k(\theta) + e_k)\big] = \mu_k^{-1}\big(\mu_k(\theta) + \text{plim}e_k(n)\big)$

знак равно μ_{К}^{- 1} (μ_{К} (θ) + 0) знак равно μ_{К}^{- 1} μ_{К} (θ) знак равно θ

$=\mu_k^{-1}\big(\mu_k(\theta) + 0\big) = \mu_k^{-1}\mu_k(\theta) = \theta$

Таким образом, мы делаем это, потому что мы получаем непротиворечивые оценки для неизвестных параметров.

— Алекос Пападопулос
источник

что значит "плим"? Я не знаком с "p" в

e_{k} (n) \overset{p}{\to} 0

$e_k(n) \xrightarrow{p} 0$

— пользователь 31466

предел вероятности @leaf

— Алекос Пападопулос

Что бы произошло, если бы это был обычный предел вместо предела вероятности?

— пользователь 31466

Это говорит нам о том, что оценщик становится константой, а не вероятностно стремится к одному. Возможно, вам стоит поискать способы сходимости случайных величин, в Википедии есть достойное введение, en.wikipedia.org/wiki/Convergence_of_random_variables

— Alecos Papadopoulos

@AlecosPapadopoulos Согласен. Тогда мне интересно, имеет ли смысл помещать что-то простое, например, "... и при определенных условиях "?

μ_{k}

$\mu_k$

— Джером Баум

Эконометрики называют это «принципом аналогии». Вы вычисляете среднее население как ожидаемое значение относительно распределения населения; Вы вычисляете оценку как ожидаемое значение по отношению к распределению выборки, и оно оказывается средним по выборке. У вас есть унифицированное выражение в которое вы подключаете либо совокупность , скажем или образец , так что является группой дельты -функции и интеграл (по Лебегу) по

Т (F) знак равно \int T (Икс) d F (Икс)

$T(F) = \int t(x) \, {\rm d}F(x)$

F (x)

$F(x)$

F (x) = \int_{\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} \exp [- \frac{(u - μ)^{2}}{2 σ^{2}}] d u

$F(x) = \int_{\infty}^x \frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\bigl[ - \frac{(u-\mu)^2}{2\sigma^2} \bigr] \, {\rm d}u$

F_{n} (x) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} 1 {x_{i} \leq x}

$F_n(x) = \frac 1n \sum_{i=1}^n 1\{ x_i \le x \}$

d F_{n} (x)

${\rm d}F_n(x)$

d F_{n} (x)

${\rm d}F_n(x)$ это пример суммы . Если ваш функционал (слабо) дифференцируем и сходится в соответствующем смысле к , то легко установить, что оценка непротиворечива, хотя, конечно, нужно больше шуток для получить, скажем, асимптотическую нормальность.

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} t (x_{i})

$\frac1n \sum_{i=1}^n t(x_i)$

T (\cdot)

$T(\cdot)$

F_{n} (x)

$F_n(x)$

F (x)

$F(x)$

— Stask
источник

Я не слышал, чтобы это называлось «принципом аналогии», но на самом деле это часто используемый шаблон эконометрического анализа: включайте оценщик выборки всякий раз, когда параметр совокупности необходим, но неизвестен.

— Аксакал

@Aksakal: «подключайте образец оценщика всякий раз, когда параметр совокупности необходим, но неизвестен». разве этот подход не называется статистикой?

— user603

@ user603: Нет, нет. Существуют и другие альтернативные подходы, и оценки плагинов могут быть плохими.

— kjetil b halvorsen