Как интерпретировать оценки параметров в результатах Пуассона GLM [закрыто]

Call:
glm(formula = darters ~ river + pH + temp, family = poisson, data = darterData)

Deviance Residuals:
    Min      1Q   Median     3Q    Max
-3.7422 -1.0257   0.0027 0.7169 3.5347

Coefficients:
              Estimate Std.Error z value Pr(>|z|)
(Intercept)   3.144257  0.218646  14.381  < 2e-16 ***
riverWatauga -0.049016  0.051548  -0.951  0.34166
pH            0.086460  0.029821   2.899  0.00374 **
temp         -0.059667  0.009149  -6.522  6.95e-11 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
Null deviance: 233.68 on 99 degrees of freedom
Residual deviance: 187.74 on 96 degrees of freedom
AIC: 648.21

Я хочу знать, как интерпретировать оценку каждого параметра в таблице выше.

Я не думаю, что название вашего вопроса точно отражает то, что вы просите.

Вопрос о том, как интерпретировать параметры в GLM, очень широк, потому что GLM - очень широкий класс моделей. Напомним, что GLM моделирует переменную отклика которая, как предполагается, следует известному распределению из экспоненциального семейства, и что мы выбрали обратимую функцию g такую, что E [ $y$$g$ для J переменных-предикторов x . В этой модели интерпретация любого конкретного параметра β j - это скорость изменения g ( y ) по отношению к x j . Определить μ ≡ E [

$$\mathrm{E}\left[y\,|\,x\right] = g^{-1}{\left(x_0 + x_1\beta_1 + \dots + x_J\beta_J\right)}$$ $J$$x$$\beta_j$$g(y)$$x_j$ иη≡x⋅β,чтобы сохранить обозначение в чистоте. Тогда для любогоj∈{1,…,J}, β j =$\mu \equiv \mathrm{E}{\left[y\,|\,x\right]} = g^{-1}{\left(x\right)}$$\eta \equiv x \cdot \beta$$j \in \{1,\dots,J\}$ Теперь определимejкак вектор изнулейJ-1и одного1вj-й позиции, так что, например, еслиJ=5,тоe3=(0,0,1,0,0). Тогда βj=g(E [ $$\beta_j = \frac{\partial\,\eta}{\partial\,x_j} = \frac{\partial\,g(\mu)}{\partial\,x_j} \text{.}$$ $\mathfrak{e}_j$$J-1$$1$$j$$J=5$$\mathfrak{e}_3 = \left(0,0,1,0,0\right)$ $$\beta_j = g{\left(\mathrm{E}{\left[y\,|\,x + \mathfrak{e}_j \right]}\right)} - g{\left(\mathrm{E}{\left[y\,|\,x\right]}\right)}$$

Что просто означает, что - это влияние на η единичного увеличения x j .$\beta_j$$\eta$$x_j$

Вы также можете указать отношения следующим образом: и E[

$$\frac{\operatorname{\partial}\mathrm{E}{\left[y\,|\,x\right]}}{\operatorname{\partial}x_j} = \frac{\operatorname{\partial}\mu}{\operatorname{\partial}x_j} = \frac{\operatorname{d}\mu}{\operatorname{d}\eta}\frac{\operatorname{\partial}\eta}{\operatorname{\partial}x_j} = \frac{\operatorname{\partial}\mu}{\operatorname{\partial}\eta} \beta_j = \frac{\operatorname{d}g^{-1}}{\operatorname{d}\eta} \beta_j$$ $$\mathrm{E}{\left[y\,|\,x + \mathfrak{e}_j \right]} - \mathrm{E}{\left[y\,|\,x\right]} \equiv \operatorname{\Delta_j} \hat y = g^{-1}{\left( \left(x + \mathfrak{e}_j\right)\beta \right)} - g^{-1}{\left( x\,\beta \right)}$$

Не зная ничего о , это насколько мы можем получить. β j - это влияние на η , на преобразованное условное среднее значение y единичного увеличения x j , а влияние на условное среднее y для единичного увеличения x j составляет g - 1 ( β ) .$g$$\beta_j$$\eta$$y$$x_j$$y$$x_j$$g^{-1}{\left(\beta\right)}$

---

Но вы, кажется, спрашиваете конкретно о регрессии Пуассона, используя стандартную функцию R по умолчанию, которая в данном случае является натуральным логарифмом. Если это так, вы спрашиваете о конкретном виде ГЖС , в которой и г = Ln . Тогда мы можем получить некоторую тягу в отношении конкретной интерпретации.$y \sim \mathrm{Poisson}{\left(\lambda\right)}$$g = \ln$

Из того, что я сказал выше, мы знаем, что $\frac{\operatorname{\partial}\mu}{\operatorname{\partial}x_j} = \frac{\operatorname{d}g^{-1}}{\operatorname{d}\eta} \beta_j$. And since we know $g(\mu) = \ln(\mu)$, we also know that $g^{-1}(\eta) = e^\eta$. We also happen to know that $\frac{\operatorname{d}e^\eta}{\operatorname{d}\eta} = e^\eta$, so we can say that

$$\frac{\operatorname{\partial}\mu}{\operatorname{\partial}x_j} = \frac{\operatorname{\partial}\mathrm{E}{\left[y\,|\,x\right]}}{\operatorname{\partial}x_j} = e^{x_0 + x_1\beta_1 + \dots + x_J\beta_J}\beta_j$$

which finally means something tangible:

Given a very small change in $x_j$, the fitted $\hat y$ changes by $\hat y\,\beta_j$.

Note: this approximation can actually work for changes as large as 0.2, depending on how much precision you need.

And using the more familiar unit change interpretation, we have:

$$\begin{align} \operatorname{\Delta_j} \hat y &= e^{ x_0 + x_1\beta_1 + \dots + \left(x_j + 1\right)\,\beta_j + \dots + x_J\beta_J } - e^{x_0 + x_1\beta_1 + \dots + x_J\beta_J} \\ &= e^{ x_0 + x_1\beta_1 + \dots + x_J\beta_J + \beta_j} - e^{x_0 + x_1\beta_1 + \dots + x_J\beta_J} \\ &= e^{ x_0 + x_1\beta_1 + \dots + x_J\beta_J}e^\beta_j - e^{x_0 + x_1\beta_1 + \dots + x_J\beta_J} \\ &= e^{ x_0 + x_1\beta_1 + \dots + x_J\beta_J} \left( e^\beta_j - 1 \right) \end{align}$$ which means

Given a unit change in $x_j$, the fitted $\hat y$ changes by $\hat y \left( e^\beta_j - 1 \right)$.

There are three important pieces to note here:

1. The effect of a change in the predictors depends on the level of the response.
2. An additive change in the predictors has a multiplicative effect on the response.
3. You can't interpret the coefficients just by reading them (unless you can compute arbitrary exponentials in your head).

So in your example, the effect of increasing pH by 1 is to increase $\ln \hat y$ by $\hat y \left( e^{0.09} - 1 \right)$; that is, to multiply $\hat y$ by $e^{0.09} \approx 1.09$. It looks like your outcome is the number of darters you observe in some fixed unit of time (say, a week). So if you're observing 100 darters a week at a pH of 6.7, raising the pH of the river to 7.7 means you can now expect to see 109 darters a week.

My suggestion would be to create a small grid consisting of combinations of the two rivers and two or three values of each of the covariates, then use the predict function with your grid as newdata. Then graph the results. It is much clearer to look at the values that the model actually predicts. You may or may not want to back-transform the predictions to the original scale of measurement (type = "response").