Почему эксцесс нормального распределения равен 3 вместо 0

Что означает утверждение, что эксцесс нормального распределения равен 3. Означает ли это, что на горизонтальной линии значение 3 соответствует пиковой вероятности, т. Е. 3 является модой системы?

Когда я смотрю на нормальную кривую, кажется, что пик приходится на центр, то есть на 0. Так почему эксцесс не 0, а 3?

normal-distribution moments kurtosis

— Виктор
источник

Как пишет @Glen_b, коэффициент "эксцесс" был определен как четвертый стандартизированный момент: Бывает, что для нормального распределения так что . Избыток эксцесса обычно обозначается является . Необходимо соблюдать осторожность, потому что иногда авторы пишут «эксцесс», а они означают «избыточный эксцесс».

β_{2} = \frac{E [(X - μ)^{4}]}{(E [(X - μ)^{2}])^{2}} = \frac{μ_{4}}{σ^{4}}

${\beta_2=}\frac{\operatorname{E}[(X-{\mu})^4]}{(\operatorname{E}[(X-{\mu})^2])^2} {=} \frac{\mu_4}{\sigma^4}$

μ_{4} = 3 σ^{4}

$\mu_4 = 3\sigma^4$

β_{2} = 3

$\beta_2= 3$

γ_{2}

$\gamma_2$

γ_{2} = β_{2} (Normal) - 3

$\gamma_2 = \beta_2(\text{Normal}) -3$

— Алекос Пападопулос

Re: Мой предыдущий комментарий. Правильное выражение для коэффициента избыточного эксцесса:

γ_{2} = β_{2} - β_{2} (Normal) = β_{2} - 3

$\gamma_2 = \beta_2 - \beta_2(\text{Normal}) = \beta_2 - 3$

— Алекос Пападопулос

Куртоз, конечно, не место, где находится пик. Как вы говорите, это уже называется режим.

Куртоз - это стандартизированный четвертый момент: если , является стандартизированной версией переменной, которую мы рассматриваем, тогда популяционный эксцесс является средней четвертой степенью этой стандартизированной переменной; . Куртоз выборки, соответственно, связан со средней четвертой степенью стандартизированного набора значений выборки (в некоторых случаях он масштабируется с коэффициентом, равным 1 в больших выборках). $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$ $E(Z^4)$

Как вы заметили, этот четвертый стандартизированный момент равен 3 в случае нормальной случайной величины. Как отмечает Алекос в комментариях, некоторые люди определяют эксцесс как ; это иногда называют избыточным эксцессом (это также четвертый кумулянт). Когда вы видите слово «куртоз», вам следует помнить о том, что разные люди используют одно и то же слово для обозначения двух разных (но тесно связанных) величин. $E(Z^4)-3$

Куртоз обычно описывается либо как пик * (скажем, насколько резко изогнут пик - который, по-видимому, был намерением выбрать слово «эксцесс»), либо как хвостатая фигура (часто то, что люди заинтересованы в ее использовании для измерения), но в На самом деле обычный четвертый стандартизированный момент не вполне измеряет ни одну из этих вещей.

Действительно, в первом томе Кендалла и Стюарта приводятся контрпримеры, которые показывают, что более высокий эксцесс не обязательно связан либо с более высоким пиком (в стандартизированной переменной), либо с более толстыми хвостами (довольно сходным образом, что третий момент не совсем измеряет, сколько людей думаю, что это так).

Однако во многих ситуациях есть некоторая тенденция быть связанной с обоими, в том, что большая пик и тяжелая хвостик часто наблюдаются, когда эксцесс выше - мы должны просто остерегаться думать, что это обязательно так.

Куртоз и асимметрия тесно связаны (эксцесс должен быть как минимум на 1 больше квадрата асимметрии; интерпретация эксцесса несколько легче, когда распределение почти симметрично.

введите описание изображения здесь

Дарлингтон (1970) и Мурс (1986) показали, что четвертым моментом измерения эксцесса является вариабельность по отношению к «плечам» - , а Баланда и МакГилливрей (1988) предлагают думать об этом в смутных терминах, связанных с этим смыслом ( и рассмотрим некоторые другие способы его измерения). Если распределение тесно сконцентрировано около , то эксцесс (обязательно) мал, тогда как если распределение распределено вдали от (которое будет стремиться одновременно накапливать его в центре и перемещать вероятность в хвосты в для того, чтобы отодвинуть его от плеч), эксцесс четвертого момента будет большим. $\mu\pm\sigma$ $\mu\pm\sigma$ $\mu\pm\sigma$

Де Карло (1997) - разумная отправная точка (после более простых ресурсов, таких как Википедия) для чтения о куртозе.

$E(Z^4)$ $E(Z^2)$ $(-1,1)$ ); и наоборот - если вы поместите больше веса в центр, удерживая дисперсию в 1, вы также добавите немного в хвост.

[NB, как обсуждалось в комментариях, это неверно как общее утверждение; здесь требуется несколько иное утверждение.]

Этот эффект дисперсии, который остается постоянным, напрямую связан с обсуждением эксцесса как «вариации вокруг плеч» в работах Дарлингтона и Мурса. Этот результат - не какое-то волнообразное представление, а простая математическая эквивалентность - никто не может считать, что иначе, не искажая эксцесс.

$(-1,1)$ $(-1,1)$

[Мое включение в ссылки Кендалла и Стюарта связано с тем, что их обсуждение эксцесса также имеет отношение к этому вопросу.]

Так что мы можем сказать? Эксцесс часто ассоциируется с более высоким пиком и с более тяжелым хвостом, не имея происходить либо вянут. Конечно, легче поднять эксцесс, играя с хвостом (так как можно убрать более 1 сд), затем отрегулировать центр так, чтобы отклонение оставалось постоянным, но это не значит, что пик не оказывает влияния; это несомненно так, и можно манипулировать эксцессом, сосредоточившись на нем. Куртоз в значительной степени, но не только, связан с тяжестью хвоста - опять же, посмотрите на вариации в отношении плеч; во всяком случае, именно на это смотрит эксцесс, в неизбежном математическом смысле.

Ссылки

Balanda, KP и MacGillivray, HL (1988),
"Куртоз: критический обзор".
Американский статистик 42 , 111-119.

Дарлингтон, Ричард Б. (1970),
«Действительно ли куртоз - это« пик? »».
Американский статистик 24 , 19-22.

Мурс, JJA (1986),
«Значение куртоза: Дарлингтон пересмотрел».
Американский статистик 40 , 283-284.

DeCarlo, LT (1997),
«О значении и использовании куртоза».
Psychol. Методы, 2 , 292-307.

Кендалл, М., и А. Стюарт,
Продвинутая теория статистики ,
Vol. 1, 3-е изд.
(более поздние издания имеют Стюарта и Орд)

— Glen_b - Восстановить Монику
источник

0

$0$

3

$3$

Стоит рассмотреть статью Вестфолла о куртозе, озаглавленном «Куртоз как пик», 1905-2014. Он критикует ДеКарло (среди прочих, даже перечисленных выше) за распространение знаний о куртозе как мере пика. Ссылка здесь: ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC4321753

— Lil'Lobster,

@ Лил, я думаю, что Уэстфолл преувеличивает свое дело. (Почти) полностью сосредотачиваясь на тяжелых хвостах, он строго неверен. В то время как куртоз довольно сильно связан с тяжелыми хвостами, он явно не тяжелый хвост (контрпримеры, где более тяжелые хвосты идут с более низким куртозом, легко найти, как описано в некоторых ссылках выше; их также легко сделать). Куртоз менее связан с остротой, но там все еще есть связь; настаивая на том, что это не пик, он заходит слишком далеко в своей критике (аналогичная критика применима к его собственным выводам). ... ctd

— Восстановить Монику

Glen_b, мы оба любим математику Если вы собираетесь критиковать меня за «завышение моего положения», пожалуйста, дайте мне ваш математический аргумент, который связывает эксцесс Пирсона с «остротой».

— Питер Уэстфолл,

Gelen_b, ваш комментарий "Это означает, что движение вероятности дальше в хвост должно сопровождаться некоторым дальнейшим внутри мю + - сигмой и наоборот - если вы поместите больший вес в центр, удерживая дисперсию в 1, вы также положите некоторое в хвосте "Ложь. Это не должно Вы можете сохранить вероятность (фактически полное распределение) внутри константы mu + - sigma и увеличить эксцесс до бесконечности в определенных параметрических семействах распределений. Смотрите здесь: math.stackexchange.com/questions/167656/…

— Питер Уэстфолл

Вот прямая визуализация, чтобы понять, что означает число «3» в отношении эксцесса нормального распределения.

$X$ $Z = (X-\mu)/\sigma$ $V = Z^4$ $V$ $p_V(v)$

$X$ $p_V(v)$

$X$ $p_V(v)$ $X$ $p_V(v)$ $X$

$p_V(v)$

С этой точки зрения, по существу правильная интерпретация эксцесса «веса хвоста» может быть более конкретно охарактеризована как «рычаг хвоста», чтобы избежать смешения «увеличенного веса хвоста» с «увеличенной массой в хвосте». В конце концов, возможно, что более высокий эксцесс соответствует меньшей массе в хвосте, но там, где эта уменьшенная масса занимает более отдаленное положение.

«Дайте мне место, чтобы встать, и я переверну землю». -Архимед

— Питер Уэстфолл
источник