Распределение вероятностей для шумной синусоиды

Я рассчитываю аналитически рассчитать распределение вероятностей точек выборки из осциллирующей функции, когда есть некоторая ошибка измерения. Я уже рассчитал распределение вероятностей для части «без шума» (я поставлю это в конце), но я не могу понять, как включить «шум».

Численная оценка

Чтобы быть более понятным, представьте, что есть некоторая функция которой вы случайным образом выбираете точки в течение одного цикла; если вы укажете точки в гистограмме, вы получите что-то, связанное с распределением.$y(x) = \sin(x)$

Без шума

Например, вот и соответствующая гистограмма$sin(x)$

С шумом

Теперь, если есть какая-то ошибка измерения, тогда она изменит форму гистограммы (и, следовательно, я думаю, что основное распределение). Например

Аналитический расчет

Надеюсь, я убедил вас, что между ними есть какая-то разница, а сейчас я напишу, как я рассчитал случай «без шума»:

Без шума

$$y(x) = \sin(x)$$

Тогда, если времена, в которые мы производим выборку, распределены равномерно, то распределение вероятностей для должно удовлетворять:$y$

$$P(y) dy = \frac{dx}{2\pi}$$

тогда с

$$\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}\left(\arcsin(y)\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}}$$

и так

$$P(y) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1 - y^{2}}}$$

которая с соответствующей нормализацией соответствует гистограмме, сгенерированной в случае отсутствия шума.

С шумом

Итак, мой вопрос: как я могу аналитически включить шум в распределение? Я думаю, что это что-то вроде умного сочетания распределений или включения шума в определение , но у меня нет идей и способов двигаться вперед, поэтому любые подсказки / советы или даже рекомендуемое чтение будут намного оценили.$y(x)$

Это зависит от того, как устроен шумовой процесс.

Предполагая, что я правильно понял вашу ситуацию, если шум аддитивен, независим и одинаково распределен, вы просто возьмете $Y$

$X_i$$x$$Y_i|X_i=x_i$$\sin(x_i)$$Y$$g$

$\epsilon_i\sim N(0,\sigma^2)$$f(\epsilon)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp({\frac{\epsilon^2}{2\sigma^2}})$$f*g$

$f_{Y+\epsilon}(z) = (f*g)(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{Y}(y)f_{\epsilon}(z-y)dy=\int_{-\infty}^{\infty} f_{Y}(z-w)f_{\epsilon}(w)dw$

(эта свертка была сделана численно; я не знаю, насколько поддается обработке этот интеграл в этом примере, потому что я не пробовал его.)

Я думаю, что производное выражение для P (x) отключено в два раза. Равномерно распределенное время выборки эквивалентно равномерно распределенной фазе по интервалу -pi, pi. Тригонометрическая функция распределяет вероятность по интервалу y {-1,1}. Интегрирование P (y) за этот интервал должно = 1, а не 2, как получено с использованием вашего подынтегрального выражения выше. Я думаю, что P (y) = 1 / (pi Sqrt (1-y ^ 2))