Обычно теория вероятностей преподается с аксиомами Колгоморова. Принимают ли байесовцы и аксиомы Колмогорова?

По моему мнению, интерпретация вероятности по Коксу-Джейнсу обеспечивает строгую основу для байесовской вероятности:

• Кокс, Ричард Т. «Вероятность, частота и разумное ожидание». Американский журнал физики 14.1 (1946): 1-13.
• Джейнс, Эдвин Т. Теория вероятностей: логика науки. Издательство Кембриджского университета, 2003.
• Бек, Джеймс Л. «Байесовская система идентификации на основе вероятностной логики». Структурный контроль и мониторинг здоровья 17.7 (2010): 825-847.

Аксиомы вероятностной логики, полученные Коксом:

1. $\Pr[b|a]\ge0$
2. (P2): (функция отрицания)$\Pr[\overline{b}|a]=1-\Pr[b|a]$
3. (P3): (функция соединения)$\Pr[b\cap c|a]=\Pr[c|b\cap a]\Pr[b|a]$

Аксиомы P1-P3 подразумевают следующее (Бек, Джеймс Л. «Байесовская идентификация системы на основе вероятностной логики». Контроль структуры и мониторинг работоспособности 17.7 (2010): 825-847):

4. (P4): a) ; б) ; c)Pr [ ¯ б | b ∩ c ] = 0 Pr [ b | c ] ∈ [ 0 , 1 $\Pr[b|b\cap c] = 1$$\Pr[\overline{b}|b\cap c] = 0$$\Pr[b|c]\in[0,1]$
5. (P5): a) , b) , где означает, что содержится в , а означает, что эквивалентно .Pr [ a | c ∩ ( a ⇔ b ) ] = Pr [ b | c ∩ ( a ⇔ b ) ] a ⇒ b a c a ⇔ b a $\Pr[a|c \cap (a \Rightarrow b)]\le\Pr[b|c\cap(a \Rightarrow b)]$$\Pr[a|c\cap(a \Leftrightarrow b)] = \Pr[b|c\cap(a \Leftrightarrow b)]$$a \Rightarrow b$$a$$c$$a \Leftrightarrow b$$a$$b$
6. (P6):$\Pr[a \cup b|c] = \Pr[a|c]+\Pr[b|c]-\Pr[a\cap b|c]$
7. (P7): Если предположить, что предложение утверждает, что одно и только одно из предложений истинно, то: b 1 , … , b $c$$b_1,\ldots,b_N$
   • а) Теорема маргинализации:$\Pr[a|c]=\sum_{n=1}^N P[a \cap b_n|c]$
   • б) Теорема полной вероятности:$\Pr[a|c] = \sum_{n=1}^N \Pr[a|b_n\cap c]\Pr[b_n|c]$
   • c) Теорема Байеса: для :Pr [ b k | a ∩ c ] = Pr [ a | b k ∩ c ] Pr [ b k | с $k=1,\ldots,N$$\Pr[b_k|a\cap c] = \frac{\Pr[a|b_k\cap c]\Pr[b_k|c]}{\sum_{n=1}^N \Pr[a|b_n\cap c]\Pr[b_n|c]}$

Они подразумевают логику Колмогорова, которую можно рассматривать как частный случай.

В моей интерпретации байесовской точки зрения все всегда (неявно) обусловлено нашими убеждениями и нашими знаниями.

Следующее сравнение взято из Beck (2010): идентификация байесовской системы на основе вероятностной логики

Байесовская точка зрения

Вероятность - это мера достоверности утверждения, основанного на указанной информации.

1. Распределения вероятностей представляют состояния правдоподобных знаний о системах и явлениях, а не о присущих им свойствах.
2. Вероятность модели является мерой ее правдоподобия относительно других моделей в наборе.
3. Прагматически количественно оценивает неопределенность из-за недостающей информации без каких-либо утверждений, что это связано с присущей природе случайностью.

Частая точка зрения

Вероятность - это относительная частота возникновения случайного по своей сути события в долгосрочной перспективе .

1. Распределения вероятностей являются неотъемлемыми свойствами случайных явлений.
2. Ограниченная область, например, не имеет значения для вероятности модели.
3. Присущая случайность предполагается, но не может быть доказана.

Как вывести аксиомы Колмогорова из аксиом выше

Далее в разделе 2.2 [Бек, Джеймс Л. «Байесовская система идентификации на основе вероятностной логики». Структурный контроль и мониторинг здоровья 17.7 (2010): 825-847.] Резюмируется:

Далее мы используем: вероятностную меру на подмножестве конечного множества :A $\Pr(A)$$A$$X$

1. [K1]:$\Pr(A)\ge 0, \forall A \subset X$
2. [K2]:$\Pr(X) = 1$
3. [K3]: если и не пересекаются.A $\Pr(A\cup B)=\Pr(A)+\Pr(B), \forall A,B \subset X$$A$$B$

Чтобы вывести (K1-K3) из аксиом теории вероятностей, [Beck, 2010] ввел пропозицию которая заявляет и задает вероятностную модель для . [Beck, 2010] также вводит .x ∈ X x Pr ( A ) = Pr [ x ∈ A | π $\pi$$x\in X$$x$$\Pr(A) = \Pr[x\in A|\pi]$

• P1 подразумевает K1 с иc = $b=\{x\in A\}$$c=\pi$
• K2 следует из ; P4 (а), и говорится , что .π x ∈ $\Pr[x\in X|\pi]=1$$\pi$$x\in X$
• K3 может быть получено из P6: и не пересекаются, что означает, что и взаимоисключающие. Следовательно, K3:B x ∈ A x ∈ B Pr ( x ∈ A ∪ B | π ) = Pr ( x ∈ A | π ) + Pr ( x ∈ B | π $A$$B$$x\in A$$x\in B$ $\Pr(x\in A\cup B|\pi)=\Pr(x\in A|\pi)+\Pr(x\in B|\pi)$

После разработки теории вероятностей необходимо было показать, что более свободные концепции, отвечающие названию «вероятности», соответствуют строго определенному понятию, которое они вдохновили. «Субъективные» байесовские вероятности были рассмотрены Рамсеем и де Финетти, которые независимо показали, что количественная оценка степени убежденности с учетом ограничений сопоставимости и согласованности (ваши убеждения последовательны, если никто не может написать голландскую книгу против вас), должен быть вероятностью.

Различия между аксиоматизацией в значительной степени зависят от того, что должно быть, что определено и что получено. Но счетная аддитивность один из Колмогорова , что не выводима из Кокса или Finetti годов, и был спорным. Некоторые байесовцы (например, де Финетти и Сэвидж) останавливаются при конечной аддитивности и поэтому не принимают всех аксиом Колмогорова. Они могут ставить равномерное распределение вероятностей на бесконечные интервалы без нарушения. Другие следуют за Вильегасом, также предполагая монотонную непрерывность, и получают из этого счетную аддитивность.

Рэмси (1926), «Правда и вероятность», в Рэмси (1931), Основы математики и другие логические очерки

де Финетти (1931), "Suligniato soggettivo della probabilità", Fundamenta Mathematicæ , 17 , с. 298 - 329.

Villegas (1964), "О качественной вероятности алгебры", Ann. Математика Statist. , 35 , 4.$\sigma$