Означает ли среднее значение = медиана, что унимодальное распределение симметрично?

Для унимодального распределения, если среднее = медиана, тогда достаточно ли сказать, что распределение симметрично?

Википедия говорит об отношениях между средним и средним:

«Если распределение симметрично, то среднее значение равно медиане, а распределение будет иметь нулевую асимметрию. Если, кроме того, распределение является унимодальным, то среднее = медиана = мода. Это случай броска монеты или серия 1,2,3,4, ... Обратите внимание, однако, что обратное утверждение в целом неверно, т. е. нулевая асимметрия не означает, что среднее значение равно медиане. "

Тем не менее, мне не очень просто собирать нужную мне информацию. Любая помощь, пожалуйста.

Вот небольшой контрпример, который не является симметричным: -3, -2, 0, 0, 1, 4 является унимодальным с mode = median = mean = 0.

Изменить: еще меньший пример -2, -1, 0, 0, 3.

Если вы хотите представить случайную переменную, а не выборку, возьмите поддержку как {-2, -1, 0, 3} с функцией вероятности массы 0,2 для всех из них, кроме 0, где она равна 0,4.

Это началось как комментарий, но росло слишком долго; Я решил сделать это больше ответом.

Прекрасный ответ Алексиса имеет дело с непосредственным вопросом (короче говоря: i. Что логически , не означает, что ; и ii. Обратное утверждение на самом деле вообще неверно), а Silverfish дает контрпримеры.${A\implies B}$$B\implies A$

Я хотел бы разобраться с некоторыми дополнительными вопросами и указать на некоторые обширные ответы, которые уже здесь, которые связаны в некоторой степени.

1. Заявление на странице Википедии, которое вы цитируете, также не совсем верно. Рассмотрим, например, распределение Коши, которое, безусловно, симметрично относительно его медианы, но не имеет среднего значения. Утверждение нуждается в определителе, таком как «при условии, что существует среднее значение и асимметрия». Даже если мы приведем его к более слабому утверждению в первой половине первого предложения, оно все равно нуждается в «условии, что среднее существует».

2. Ваш вопрос частично связывает симметрию с нулевой асимметрией (я предполагаю, что вы предполагаете асимметрию третьего момента, но аналогичное обсуждение может быть написано для других мер асимметрии). Наличие 0 асимметрии не подразумевает симметрию. Более поздняя часть вашей цитаты и раздел из Википедии, цитируемый Алексис, упоминают об этом, хотя в объяснении, приведенном во второй цитате, может использоваться некоторая настройка.

Этот ответ показывает, что взаимосвязь между асимметрией третьего момента и направлением взаимосвязи между средним и медианой является слабой (асимметрия третьего момента и асимметрия второго Пирсона не должны соответствовать).

Пункт 1. в этом ответе дает дискретный контрпример, аналогичный, но отличающийся от приведенного Silverfish.

Изменить: я наконец-то выкопал унимодальный пример, который я действительно искал ранее.

В этом ответе я упоминаю следующую семью:

$\frac{1}{24}\exp(-x^{1/4}) [1 -\alpha \sin(x^{1/4})]$

Взяв два конкретных члена (скажем, синюю и зеленую плотности в конкретном примере в этом связанном ответе, которые имеют и соответственно), и переверните один из них по x- ось и взяв 50-50 смесь двух, мы получили бы унимодальную асимметричную плотность со всеми нечетными моментами ноль:α = $\alpha=0$$\alpha=\frac{_1}{^2}$

(серые линии показывают синюю плотность, перевернутую вокруг оси x, чтобы сделать асимметрию ровной)

Whuber дает еще один пример здесь с нулевой асимметрией , что это непрерывное, унимодальны и асимметричным. Я воспроизвел его схему:

который показывает пример и то же самое перевернуло среднее значение (чтобы ясно показать асимметрию), но вы должны прочитать оригинал, который содержит много полезной информации.

[Ответ Whuber в здесь дает еще один асимметричный непрерывное семейство распределений с теми же моментами. Выполнение одного и того же трюка «выбери два, переверни один и возьми смесь 50 на 50» имеет тот же асимметричный результат со всеми нечетными моментами, равными нулю, но я думаю, что здесь он не дает унимодальных результатов (хотя, возможно, есть некоторые примеры). ]

Ответ здесь обсуждает связь между средним, медианой и модой.

В этом ответе обсуждаются гипотезы проверки симметрии.

Нет.

Если, кроме того, распределение унимодально, то среднее = медиана = мода.

То же самое, что «если птенец - это курица, то его происхождение - яйцо», это не означает, что «если птенец - яйцо, то птенец - это курица».

Из той же статьи в Википедии:

В тех случаях, когда один хвост длинный, а другой толстый, асимметрия не подчиняется простому правилу. Например, нулевое значение указывает, что хвосты по обе стороны от среднего значения уравновешиваются, что имеет место как для симметричного распределения, так и для асимметричных распределений, где асимметрия выравнивается, например, один хвост длинный, но тонкий, и другие короткие, но толстые.

Интересные и простые для понимания примеры взяты из биномиального распределения.

Вот биномиальные вероятности для 0 (1) 5 успехов в 5 испытаниях, когда вероятность успеха равна 0,2. Это непосредственное , что среднее значение 0,2 5 1, что проверка вероятности подтверждают также , как медиана и режим (один), но распределение явно не симметричные. Естественно, есть много других примеров искаженных биномов со средним положительным числом.$\times$$=$

            1        2
    +-------------------+
  1 |       0   .32768  |
  2 |       1    .4096  |
  3 |       2    .2048  |
  4 |       3    .0512  |
  5 |       4    .0064  |
  6 |       5   .00032  |
    +-------------------+

Код Stata для этого дисплея был mata : (0..5)' , binomialp(5, (0..5), 0.2)'и, по-видимому, настолько же прост или прост в любом статистическом программном обеспечении, о котором стоит упомянуть.

С точки зрения психологии, а не логики, этот пример не может быть убедительно отклонен как патологический (как и в других задачах, можно игнорировать распределения, для которых определенные моменты даже не существуют) или как причудливый или тривиальный пример, придуманный для этой цели (как например, изобретенные данные, описанные @Silverfish или 0, 0, 1, 1, 1, 3).