Определение истинного среднего из шумных наблюдений

У меня есть большой набор точек данных в форме (значит, stdev). Я хочу уменьшить это значение до одного (лучшего) среднего и (надеюсь) меньшего стандартного отклонения.

Очевидно , я мог бы просто вычислить , однако это не принимает во внимание тот факт, что некоторые из точек данных значительно более точны, чем другие.$\frac{\sum data_{mean}}{N}$

Проще говоря, я хочу предварительно определить средневзвешенное значение этих точек данных, но не знаю, какой должна быть весовая функция в терминах стандартного отклонения.

Вы ищете линейную оценку для среднего формы$\mu$

$$\hat{\mu} = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i x_i$$

где - веса, а x i - наблюдения. Цель состоит в том, чтобы найти соответствующие значения для весов. Пусть σ i будет истинным стандартным отклонением x i , которое может совпадать или не совпадать с ожидаемым стандартным отклонением, которое вы, вероятно, имеете. Предположим, что наблюдения объективны; то есть их ожидания равны среднему значению μ . В этих условиях мы можем вычислить , что математическое ожидание ц является$\alpha_i$$x_i$$\sigma_i$$x_i$$\mu$$\hat{\mu}$

$$\mathbb{E}[\hat{\mu}] = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \mathbb{E}[x_i] = \mu \sum_{i=1}^{n} \alpha_i$$

и (при условии, что не коррелированы), дисперсия этой оценки$x_i$

$$\operatorname{Var}\left[\hat{\mu}\right] = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i^2 \sigma_i^2.$$

$\alpha_i$$1/\sigma_i^2$

$$\hat{\mu} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i / \sigma_i^2}{\sum_{i=1}^{n} 1 / \sigma_i^2}$$

и

$$\operatorname{Var}\left[\hat\mu\right] = \frac{1}{\sum_{i=1}^{n} 1 / \sigma_i^2} = \frac{1}{n} \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{\sigma_i^2}\right)^{-1}.$$

В словах,

$1/n$

$\sigma_i$