Связь между гамма-распределением и хи-квадрат

Если где , то есть все - это нормальные случайные переменные нулевого среднего с одинаковыми дисперсиями, затем

Y = \sum_{i = 1}^{N} X_{i}^{2}

$Y=\sum_{i=1}^{N}X_i^2$

X_{i} \sim N (0, σ^{2})

$X_i \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$

X_{i}

$X_i$

Y \sim Γ (\frac{N}{2}, 2 σ^{2}) .

$Y \sim \Gamma\left(\frac{N}{2},2\sigma^2\right).$

Я знаю , что хи-квадрат распределение является частным случаем гамма - распределения, но не может получить распределение хи-квадрат для случайной величины . Любая помощь, пожалуйста? $Y$

chi-squared gamma-distribution

— кака
источник

Некоторый фон

Распределение определяется как распределение, которое получается в результате суммирования квадратов независимых случайных величин , поэтому: где обозначает, что случайные величины и иметь одинаковое распределение (EDIT: будет обозначать как распределение Хи-квадрат с степенями свободы, так и случайную величину с таким распределением ). Теперь pdf дистрибутива $\chi^2_n$ $n$ $\mathcal{N}(0,1)$

If X_{1}, \dots, X_{n} \sim N (0, 1) and are independent, then Y_{1} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2} \sim χ_{n}^{2},

$\text{If }X_1,\ldots,X_n\sim\mathcal{N}(0,1)\text{ and are independent, then }Y_1=\sum_{i=1}^nX_i^2\sim \chi^2_n,$

X \sim Y

$X\sim Y$

X

$X$

Y

$Y$ $\chi_n^2$ $n$

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$

f_{χ^{2}} (x; n) = \frac{1}{2^{\frac{n}{2}} Γ (\frac{n}{2})} x^{\frac{n}{2} - 1} e^{- \frac{x}{2}}, for x \geq 0 (and 0 otherwise).

$f_{\chi^2}(x;n)=\frac{1}{2^\frac{n}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}},\quad \text{for } x\geq0\text{ (and $0$ otherwise).}$ Так что, действительно, является частным случаем распределения с pdf Теперь ясно, что .

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$

Γ (p, a)

$\Gamma(p,a)$

f_{Γ} (x; a, p) = \frac{1}{a^{p} Γ (p)} x^{p - 1} e^{- \frac{x}{a}}, for x \geq 0 (and 0 otherwise).

$f_\Gamma(x;a,p)=\frac{1}{a^p\Gamma(p)}x^{p-1}e^{-\frac{x}{a}},\quad \text{for } x\geq0\text{ (and $0$ otherwise).}$

χ_{n}^{2} \sim Γ (\frac{n}{2}, 2)

$\chi_n^2\sim\Gamma\left(\frac{n}{2},2\right)$

Ваш случай

Разница в вашем случае в том, что у вас есть нормальные переменные с общими дисперсиями . Но в этом случае возникает аналогичное распределение: поэтому следует распределению, полученному в результате умножения случайной величины на . Это легко получить с помощью преобразования случайных величин ( ): Обратите внимание, что это то же самое, что сказать, что $X_i$ $\sigma^2\neq1$

Y_{2} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2} = σ^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(\frac{X_{i}}{σ})}^{2} \sim σ^{2} χ_{n}^{2},

$Y_2=\sum_{i=1}^nX_i^2=\sigma^2\sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i}{\sigma}\right)^2\sim\sigma^2\chi_n^2,$

Y

$Y$

χ_{n}^{2}

$\chi_n^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

Y_{2} = σ^{2} Y_{1}

$Y_2=\sigma^2Y_1$

f_{σ^{2} χ^{2}} (x; n) = f_{χ^{2}} (\frac{x}{σ^{2}}; n) \frac{1}{σ^{2}} .

$f_{\sigma^2\chi^2}(x;n)=f_{\chi^2}\left(\frac{x}{\sigma^2};n\right)\frac{1}{\sigma^2}.$

Y_{2} \sim Γ (\frac{n}{2}, 2 σ^{2})

$Y_2\sim\Gamma\left(\frac{n}{2},2\sigma^2\right)$ так может быть поглощен гамма в параметра.

σ^{2}

$\sigma^2$

a

$a$

Заметка

Если вы хотите извлечь pdf из с нуля (что также относится к ситуации с при незначительных изменениях), вы можете выполнить первый шаг здесь для используя стандартное преобразование для случайных величин. Затем вы можете выполнить следующие шаги или сократить доказательство, опираясь на свойства свертки гамма-распределения и его связь с описанным выше. $\chi^2_n$ $\sigma^2\neq1$ $\chi_1^2$ $\chi^2_n$

— epsilone
источник

Хорошее описание (+1). Но я сомневаюсь, когда вы говорите, что вероятно, это должно быть гдеИ, наконец,

Y_{2} \sim σ^{2} χ_{n}^{2},

$Y_2\sim\sigma^2\chi_n^2,$

Y_{2} = σ^{2} U,

$Y_2=\sigma^2U,$

U \sim χ_{n}^{2} .

$U\sim\chi_n^2.$

f_{σ^{2} U} (x; n) = f_{χ^{2}} (\frac{x}{σ^{2}}; n) \frac{1}{σ^{2}} .

$f_{\sigma^2 U}(x;n)=f_{\chi^2}\left(\frac{x}{\sigma^2};n\right)\frac{1}{\sigma^2}.$

— Кака

Спасибо @кака. По первому пункту, фактически с обозначением я имею в виду случайную переменную, которая возникает, когда вы умножаете переменную на , так что мы оба говорим одно и то же. .. Во втором пункте напомним, что - это обозначение, которое я использовал для обозначения плотности a (параметр появляется в качестве второго аргумента). С вашими обозначениями плотность будет читаться как , что тоже нормально, но вы повторяете дважды .

σ^{2} χ_{n}^{2}

$\sigma^2\chi_n^2$

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$

σ^{2}

$\sigma^2$

f_{χ^{2}} (x; n)

$f_{\chi^2}(x;n)$

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$

n

$n$

σ^{2} χ_{n}^{2}

$\sigma^2\chi^2_n$

f_{χ_{n}^{2}} (x; n)

$f_{\chi_n^2}(x;n)$

n

$n$

— Эпсилон

Но в самом первом уравнении вы определили как распределение

X_{n}^{2}

$\mathcal{X}_n^2$

\sum_{i = 1}^{N} X_{i}^{2} .

$\sum_{i=1}^N X_i^2.$

— Кака

Да, и в уравнении для «s Have дисперсия , так , как в первом уравнении.

Y_{2}

$Y_2$

X_{i}

$X_i$

σ^{2}

$\sigma^2$

\frac{X_{i}}{σ}

$\frac{X_i}{\sigma}$

X_{i}

$X_i$

— epsilone

χ_{n}^{2}

$\chi_n^2$ обозначает функцию распределения Хи-квадрат с степенями свободы, а также случайную величину, которая следует за таким распределением. Возможно, это злоупотребление нотацией, но смысл должен быть ясен. Я все же отредактирую ответ, чтобы уточнить его.

n

$n$

— epsilone