Доказательство стационарности АР (2)

Рассмотрим процесс AR (2) где - стандартный процесс белого шума. Просто для простоты позвольте мне назвать и . Сосредоточившись на корнях уравнения характеристик, я получил Классические условия в учебниках следующие: Я пытался вручную (с помощью Mathematica) решить неравенства на корнях, т. е. систему получая только

$$X_t=\phi_1X_{t-1}+\phi_2X_{t-2}+\epsilon_t$$ $\epsilon_t$$\phi_1=b$$\phi_{2}=a$ $$z_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2+4a}}{2a}$$ $$\begin{cases}|a|<1 \\ a\pm b<1 \end{cases}$$ $$\begin{cases}|\frac{-b-\sqrt{b^2+4a}}{2a}|>1 \\ |\frac{-b+\sqrt{b^2+4a}}{2a}|>1\end{cases}$$ $$a \pm b<1$$ Можно ли восстановить третье условие ( ), добавив два предыдущих решения друг к другу, получив которое по некоторым признакам знака становится ? Или я пропускаю решение?$|a|<1$$a+b+a-b<2 \Rightarrow a<1$$|a|<1$

Я предполагаю, что характерное уравнение, от которого вы уходите, отличается от моего. Позвольте мне сделать пару шагов, чтобы понять, согласны ли мы.

Рассмотрим уравнение

$$\lambda^2-\phi_1\lambda-\phi_2=0$$

Если $z$ является корнем «стандартного» характеристического уравнения $1-\phi_1 z-\phi_2 z^2=0$ и установки $z^{-1}=\lambda$ , отображение получается при переписывании стандартного уравнения следующим образом:

$$\begin{eqnarray*} 1-\phi_1 z-\phi_2 z^2&=&0\\ \Rightarrow z^{-2}-\phi_1 z^{-1}-\phi_2 &=&0\\ \Rightarrow \lambda^2-\phi_1\lambda -\phi_2 &=&0 \end{eqnarray*}$$ Следовательно, альтернативное условие устойчивости$AR(2)$состоит в том, что все корни первого отображения находятсявнутриединичного круга,$|z|>1 \Leftrightarrow |\lambda|=|z^{-1}|<1$.

Мы используем это представление для получения треугольника стационарности процесса $AR(2)$ , то есть, что $AR(2)$ является стабильным, если выполняются следующие три условия:

1. $\phi_2<1+\phi_1$
2. $\phi_2<1-\phi_1$
3. $\phi_2>-1$

Напомним, что вы можете записать корни первого отображения (если они действительны) как

$$\lambda_{1,2}=\frac{\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}}{2}$$ чтобы найти первые два условия.

Тогда $AR(2)$ является стационарным тогда и только тогда, когда $|\lambda|<1$ , следовательно (если $\lambda_i$ действительны):

$$\begin{eqnarray*} -1<\frac{\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}}{2}&<&1\\ \Rightarrow -2<\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2 \end{eqnarray*}$$ Больший из двух$\lambda_i$ограничен$\phi_1+\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}<2$или: $$\begin{eqnarray*} \phi_1+\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2\\ \Rightarrow \sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2 - \phi_1\\ \Rightarrow \phi_1^2+4\phi_2&<&(2 - \phi_1)^2\\ \Rightarrow \phi_1^2+4\phi_2&<&4 - 4\phi_1+\phi_1^2\\ \Rightarrow \phi_2&<&1 - \phi_1 \end{eqnarray*}$$ Аналогично находим, что$\phi_2<1 + \phi_1$.

Если $\lambda_i$ сложен, то $\phi_1^2<-4\phi_2$ и так

$$\lambda_{1,2} = \phi_1/2\pm i\sqrt{-(\phi_1^2+4\phi_2)}/2.$$ Квадрат модуля комплексного числа представляет собой квадрат действительного плюс квадрат мнимой части. Следовательно, $$\lambda^2 = (\phi_1/2)^2 + \left(\sqrt{-(\phi_1^2+4\phi_2)}/2\right)^2 = \phi_1^2/4-(\phi_1^2+4\phi_2)/4 = -\phi_2.$$ Это стабильно, если$|\lambda|<1$, следовательно, если$-\phi_2<1$или$\phi_2>-1$, как должно было быть показано. (Ограничение$\phi_2<1$$\phi_2^2<1$$\phi_2<1+\phi_1$$\phi_2<1-\phi_1$

Построив треугольник стационарности, также указав линию, которая отделяет комплекс от реальных корней, мы получим

Произведено в R с использованием

phi1 <- seq(from = -2.5, to = 2.5, length = 51) 
plot(phi1,1+phi1,lty="dashed",type="l",xlab="",ylab="",cex.axis=.8,ylim=c(-1.5,1.5))
abline(a = -1, b = 0, lty="dashed")
abline(a = 1, b = -1, lty="dashed")
title(ylab=expression(phi[2]),xlab=expression(phi[1]),cex.lab=.8)
polygon(x = phi1[6:46], y = 1-abs(phi1[6:46]), col="gray")
lines(phi1,-phi1^2/4)
text(0,-.5,expression(phi[2]<phi[1]^2/4),cex=.7)
text(1.2,.5,expression(phi[2]>1-phi[1]),cex=.7)
text(-1.75,.5,expression(phi[2]>1+phi[1]),cex=.7)