Оценка количества шаров путем последовательного выбора шара и его маркировки

Допустим, у меня в сумке N шаров. На моем первом розыгрыше я отмечаю мяч и помещаю его в сумку. Во время второго розыгрыша, если я беру отмеченный мяч, я возвращаю его в сумку. Однако, если я беру безымянный шарик, я отмечаю его и возвращаю в сумку. Я продолжаю это для любого количества розыгрышей. Каково ожидаемое количество шаров в сумке с учетом количества розыгрышей и отмеченной / немаркированной истории розыгрышей?

— ashemon
источник

Возможно, связано: рассматривали ли вы метод улова-повторной поимки для оценки численности населения? ru.wikipedia.org/wiki/Mark_and_recapture

— a.arfe,

«Ожидаемое число» не может быть понято в его обычном техническом смысле ожидаемого значения, поскольку для нет распределения вероятностей . Похоже , что вы просите для оценки из .

N

$N$

N

$N$

— whuber

Вот идея. Пусть конечное подмножество натуральных чисел , которые будут служить в качестве возможных значений для . Предположим, у нас есть предварительное распределение по . Устранение неслучайный целое положительное число . Пусть будет случайной величиной, обозначающей количество раз, которое мы помечаем шаром в извлекаемом из сумки. Цель состоит в том, чтобы найти . Это будет функцией и предыдущего. $\mathcal{I}$ $N$ $\mathcal{I}$ $M$ $k$ $M$ $E(N|k)$ $M,k$

По правилу Байеса мы имеем

\begin{aligned} P (N = j | k) & = \frac{P (k | N = j) P (N = j)}{P (k)} \\ = \frac{P (k | N = j) P (N = j)}{\sum_{r \in I} P (k | N = r) P (N = r)} \end{aligned}

$\begin{align} P(N=j|k) &= \frac{P(k|N=j)P(N=j)}{P(k)}\\ &= \frac{P(k|N=j)P(N=j)}{\sum_{r \in \mathcal{I}} P(k|N=r)P(N=r)} \end{align}$

Вычисление является известным расчетом, который является вариантом задачи по сбору купонов. - это вероятность того, что мы наблюдаем различных купонов в розыгрышах, когда всего имеется купонов. Смотрите здесь для аргумента $P(k|N=j)$ $P(k|N=j)$ $k$ $M$ $j$

P (k | N = j) = \frac{(\binom{j}{k}) k! S (M, k)}{j^{M}}

$P(k|N=j) = \frac{\binom{j}{k}k!S(M,k)}{j^M}$

где обозначает число перемешивания второго рода . Затем мы можем рассчитать $S$

E (N | k) = \sum_{j \in I} j P (N = j | k)

$E(N|k) = \sum_{j \in \mathcal{I}}jP(N=j|k)$

Ниже приведены некоторые расчеты для различных и . В каждом случае мы используем униформу до $k$ $M$ $[k,10k]$

\begin{array}{ccc} M & k & E (N) \\ 10 & 5 & 7.99 \\ 15 & 5 & 5.60 \\ 15 & 10 & 23.69 \\ 30 & 15 & 20.00 \\ 30 & 20 & 39.53 \end{array}

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline M & k & E(N)\\\hline 10 & 5 & 7.99 \\ 15 & 5 & 5.60 \\ 15 & 10 & 23.69\\ 30 & 15 & 20.00\\ 30 & 20 & 39.53 \\ \hline \end{array}$

— user35546
источник