Тест, чтобы отличить периодические от почти периодических данных

Предположим, у меня есть некоторая неизвестная функция $f$ с областью , которую я знаю для выполнения некоторых разумных условий, таких как непрерывность. Я знаю точные значения f (потому что данные получены в результате моделирования) в некоторых равноотстоящих точках выборки t_i = t_0 + iΔt с i∈ \ {1,…, n \} , которые я могу считать достаточно точными, чтобы охватить все соответствующие аспекты f , например, я могу предположить, что существует не более одного локального экстремума f между двумя точками отбора проб. Ищу тест , который говорит мне , что ли мои Complies данных с F быть точно периодическим, т.е. ∃τ: е (т + τ) = е (т) \, ∀ \, т$ℝ$$f$$t_i=t_0 + iΔt$$i∈\{1,…,n\}$$f$$f$$f$$∃τ: f(t+τ)=f(t) \,∀\,t$с длиной периода, которая является несколько резонирующей, например, $Δt < τ < n·Δt$ (но возможно, что я могу сделать более строгие ограничения, если это необходимо).

С другой точки зрения, у меня есть данные ${x_0, …, x_n}$ и я ищу тест, который отвечает на вопрос, существует ли периодическая функция $f$ (удовлетворяющая условиям, описанным выше), такая, что $f(t_i)=x_i ∀ i$ .

Важным моментом является то, что $f$ , по крайней мере, очень близко к периодичности (это может быть, например, $f(t) := \sin(g(t)·t)$ или $f(t) := g(t)·\sin(t)$ с $g'(t) ≪ g(t_0)/Δt$ ) в той степени, в которой изменение одной точки данных на небольшое количество может быть достаточным для того, чтобы данные соответствовали точным периодическим значениям $f$ . Таким образом, стандартные инструменты для частотного анализа, такие как преобразование Фурье или анализ пересечения нуля, мало чем помогут.

Обратите внимание, что тест, который я ищу, скорее всего, не будет вероятностным.

У меня есть несколько идей, как разработать такой тест самостоятельно, но я хочу не изобретать велосипед. Поэтому я ищу существующий тест.

Как я уже сказал, у меня была идея, как это сделать, которую я понял, усовершенствовал и написал статью, которая сейчас публикуется: Chaos 25, 113106 (2015) - препринт на ArXiv .

Исследуемый критерий почти такой же, как показано в вопросе: учитывая данные выбранные в моменты времени , тест решает, существует ли функция и a такое, что:$x_1, \ldots, x_n$$t_0, t_0 + Δt, \ldots, t_0 + nΔt$$f: [t_0, t_0 + Δt] → ℝ$$τ ∈ [2Δt,(n-1)Δt]$

• $f(t_0 + iΔt)=x_i\quad \forall i∈\{1,…,n\}$
• $f(t+τ)=f(t) \quad∀t∈[t_0, t_0 + Δt-τ]$
• $f$ имеет не более локальных экстремумов, чем последовательность , с возможным исключением не более одного экстремума, близкого к началу и концу каждого.$x$$f$

Тест может быть изменен для учета небольших ошибок, таких как числовые ошибки метода моделирования.

^{Я надеюсь, что моя статья также отвечает, почему я заинтересовался таким тестом.}

Преобразовать данные в частотную область с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Если данные являются совершенно периодическими, то будет ровно один частотный интервал с высоким значением, а другие интервалы будут равны нулю (или близки к нулю, см. Спектральную утечку).

Обратите внимание, что разрешение по частоте задается как . Таким образом, это устанавливает предел точности обнаружения.$\frac{\text{sampling frequency}}{\text{Number of samples}}$

Если вы знаете фактический периодический сигнал, рассчитайте

$\text{difference} = \Big|\text{theoretical data} - \text{measured data}\big|$

Затем суммируйте элементы . Если оно превышает пороговое значение (учитывая погрешность арифметики с плавающей запятой), данные не являются периодическими.$\text{difference}$