Ковариантность случайного вектора после линейного преобразования

20

Если - случайный вектор, а - фиксированная матрица, кто-то может объяснить, почему $\mathbf {Z}$ $A$

с о v [A Z] знак равно A с о v [Z] A^{⊤},

$\mathrm{cov}[A \mathbf {Z}]= A \mathrm{cov}[\mathbf {Z}]A^\top.$

covariance

— user92612
источник

26

Для случайного (столбцового) вектора со средним вектором ковариационная матрица определяется как . Таким образом, ковариационная матрица , средний вектор которой , задается как $\mathbf Z$ $\mathbf{m} = E[\mathbf{Z}]$ $\operatorname{cov}(\mathbf{Z}) = E[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T]$ $A\mathbf{Z}$ $A\mathbf{m}$

\begin{aligned} сОУ (A Z) & знак равно Е [(A Z - A м) (A Z - A м)^{Т}] \\ знак равно Е [A (Z - м) (Z - м)^{Т} A^{Т}] \\ знак равно A Е [(Z - м) (Z - м)^{Т}] A^{Т} \\ знак равно A сОУ (Z) A^{Т}, \end{aligned}

$\begin{align}\operatorname{cov}(A\mathbf{Z}) &= E[(A\mathbf{Z}-A\mathbf{m})(A\mathbf{Z}-A\mathbf{m})^T]\\ &= E[A(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^TA^T]\\ &= AE[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T]A^T\\ &= A\operatorname{cov}(\mathbf{Z})A^T. \end{align}$

— Дилип Сарватэ
источник

1

Я исправил свою опечатку. Спасибо за указание на мою ошибку.

— user92612

4

Я хотел бы добавить к ответу Дилипа Сарвейта, что тот же результат имеет место и для преобразования вида : $\mathbf{Z}A^T$

с о v (Z A^{Т}) знак равно A с о v (Z) A^{Т}

$\mathrm{cov}(\mathbf{Z}A^T) = A\mathrm{cov}(\mathbf{Z})A^T$

Используя тот же подход:

\begin{aligned} с о v (Z A^{Т}) & знак равно Е [(Z A^{Т} - м A^{Т}) (Z A^{Т} - м A^{Т})^{Т}] \\ знак равно Е [(Z - м) A^{Т} A (Z - м)^{Т}] \\ знак равно Е [A (Z - м) (Z - м)^{Т} A^{Т}] \\ знак равно A Е [(Z - м) (Z - м)^{Т}] A^{Т} \\ знак равно A с о v (Z) A^{Т} \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{cov}(\mathbf{Z}A^T)&=\mathbb{E}[(\mathbf{Z}A^T-\mathbf{m}A^T)(\mathbf{Z}A^T-\mathbf{m}A^T)^T] \\ &=\mathbb{E}[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})A^TA(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T] \\ &=\mathbb{E}[A(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^TA^T] \\ &=A\mathbb{E}[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T]A^T \\ &=A\mathrm{cov}(\mathbf{Z})A^T \\ \end{align}$

Использование на шаге (3): $AB^TBA^T=BAA^TB^T$

\begin{aligned} A В^{Т} В A^{Т} & знак равно {({(A В^{Т} В A^{Т})}^{Т})}^{Т} \\ знак равно {(В A^{Т} A В^{Т})}^{Т} \\ знак равно В {(В A^{Т} A)}^{Т} \\ знак равно В A A^{Т} В^{Т} \end{aligned}

$\begin{align}AB^TBA^T &= \left(\left(AB^TBA^T\right)^T\right)^T \\ &= \left(BA^TAB^T\right)^T \\ &= B\left(BA^TA\right)^T \\ &= BAA^TB^T \end{align}$

— Ян Кукацка
источник