Как развить интуицию для условной вероятности?

В видео-лекциях из Гарвардского журнала « Статистика 110: вероятность», которые можно найти в iTunes и YouTube, я столкнулся с этой проблемой. Я попытался обобщить это здесь:

Предположим, нам дают случайную двухкарточную комбинацию из стандартной колоды.

1. Какова вероятность того, что обе карты являются тузами, если у нас есть хотя бы один туз?

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{P(both\ aces, have\ ace)}{P(have\ ace)}$$

Поскольку наличие хотя бы одного туза подразумевается, если у вас есть оба туза, пересечение может быть уменьшено до просто$P(both\ aces)$

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{P(both\ aces)}{P(have\ ace)}$$

Это тогда просто

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{4C2\ /\ 52C2}{1-48C2\ /\ 52C2}=\frac{1}{33}$$

2. Какова вероятность того, что обе карты являются тузами, если у нас есть туз пик?

$$P(both\ aces | have\ ace\ of\ spades)=\frac{P(both\ aces, have\ ace\ of\ spades)}{P(have\ ace\ of\ spades)}$$

$$P(both\ aces | have\ ace\ of\ spades)=\frac{(3C1*1C1)\ /\ 52C2}{2!*\frac{51}{52}*\frac{1}{51}}=\frac{1}{17}$$

Теперь где-то вдоль этих примеров я заблудился ...

Последнее, очевидно, точно такое же, как $\frac{3}{51}$ , что имеет большой смысл (для меня), что это будет ответом. Если вам говорят, что у вас есть туз (скажем) пиков, то вы знаете, что есть еще $3$ туза и еще $51$ карта.

Но в первом примере математика кажется хорошей (и я считаю, что лектор не дал бы этот пример, если бы он был неверным ...), но я не могу обернуть голову вокруг этого.

Как я могу получить некоторую интуицию для этой проблемы?

Чтобы помочь интуиции, рассмотрите возможность визуализации двух событий (наборов результатов):

1. Событие обусловленности, которое является информацией, предоставленной.

2. Условное событие, вероятность которого вы хотели бы найти.

Условная вероятность определяется делением шанса второго на шансы первого.

---

Есть одинаково вероятных способа раздать две карты наугад. Удобный способ визуализации этих сделок состоит в том, чтобы выложить их в таблицу, в которой строки (скажем) обозначают первую раздаемую карту, а столбцы - вторую карту в раздаче. Вот часть этой таблицы с эллипсами ( ), обозначающими недостающие части. Обратите внимание, что поскольку две карты не могут быть одинаковыми, вдоль главной диагонали таблицы не существует записей. Строки и столбцы упорядочены от тузов до королей:$52 \times 51$$\cdots$

Вопросы сосредоточены на тузах. Информация «у нас есть хотя бы один туз» определяет местонахождение пары в первых четырех строках или первых четырех столбцах. Мы можем представить это схематически, раскрасив эти строки и столбцы. Я покрасил их в красный цвет, но там, где появляются оба туза, я покрасил их в черный цвет:

Существует пар всех тузов и других пары с хотя бы одним тузом, в общей сложности пар, на которых вы тренируетесь, как показано как красной, так и черной областями. Поскольку все такие пары одинаково вероятны, вероятность первого$2\times 6 = 12$$2\times (4\times 48) = 384$$12+384=396$

$$\frac{12}{396} = \frac{1}{33}.$$

Это черная фракция красного + черного региона.

Второй вопрос утверждает: «У нас есть пиковый туз». Это соответствует только самой первой строке и столбцу:

Теперь таких пар с двумя тузами всего , а с тузом пик - других пар, в общей сложности таких пар. Рассуждая точно так же, как и раньше, шанс двух тузов$2\times 3 = 6$$2\times 48=96$$96+6 = 102$

$$\frac{6}{102} = \frac{1}{17}.$$

Опять же, это черная фракция красного + черного региона.

Для справки, последний рисунок включает в себя предыдущий, показанный в розовом и сером. Сравнение этих регионов показывает, что произошло: при переходе от первого вопроса ко второму число пар в событии подготовки (розовое) уменьшилось примерно до одной четверти от исходного значения (красное), а число рассматриваемых пар уменьшилось. только на половину (от серого до черного, от до ).$12$$6$

---

Я нашел такие схематические фигуры полезными даже - возможно, особенно - при попытке понять более сложные понятия вероятности, такие как фильтрация сигма-алгебр .

Другой способ установить проблему, которая приводит ко второму вычислению, заключается в следующем:

Вы берете две карты из колоды. Какова вероятность двух тузов, если первая карта, которую вы вытянули, была тузом?

Это выражение облегчает контраст с первым расчетом. Основной шанс выбора двух тузов не меняется, но условие наличия первой карты в качестве туза является более ограничительным, чем условие, если любой из них является тузом. Это означает, что при расчете условной вероятности желаемая комбинация должна встречаться среди меньшего числа вариантов, поэтому она имеет большую вероятность.

Две разные фразы (туз пик и первая карта туза) похожи, потому что они нарушают симметрию / взаимозаменяемость между тузами: масть или ордер не могут быть произвольно поменяны местами.

Вначале мне было трудно иметь некоторую интуицию.

Одна идея состоит в том, чтобы довести проблему до предела. В этом случае, как отметил Стив, одна идентичная проблема: у моего соседа двое детей - вы знаете, что один из них - мальчик. Какова вероятность, что у нее есть два мальчика.

Первая идея, хорошо, у меня есть один мальчик, у другого ребенка есть 1/2 шанс стать девочкой и 1/2, чтобы быть мальчиком, но в этом случае вы не берете всю информацию, которая дает вам факт ( по крайней мере, у вас есть мальчик), поскольку подразумевается, что этот мальчик может быть самым младшим ребенком, будучи старшим из девочек или наоборот, или оба являются мальчиками, что означает, что только один из трех возможных результатов является благоприятным.

Как я уже сказал, это проще довести проблему до предела ...

Случай 1: Абстрактный случай, идентичный «у нас есть один туз» -> В этом случае представьте, что у моего соседа не 2 ребенка, а 27, и вы знаете, 26 мальчиков, вероятность этого почти равна нулю. В этом случае ясно, что эта информация дает вам много информации о том, что вероятностно говоря оставшийся ребенок - это девочка. Чтобы быть точным, у вас будет один случай с 27 мальчиками, скажем, кортеж (b, b, b, b, b, b ..., b) и 27 случаев с 1 девочкой и 26 мальчиками (g, b, b) , b ...), (b, g, b, b, b ...), поэтому вероятность всех мальчиков равна 1/27, в общем случае она будет равна 1 / (N + 1)

case2: конкретная информация. Это было бы идентично «У нас есть туз пик» или «У нас есть первая карта туз». В этом случае представьте, что у нашей соседки 26 детей, все мальчики, и она беременна 27-м. Какова вероятность, что 27-го будет мальчик?

С case2 я почти уверен, что мы все можем понять интуицию, необходимую для такого рода неочевидных проблем условных вероятностей.

Если вы хотите разбогатеть, вы должны сделать ставку на первый случай с 26 мальчиками и 27-м, потому что отсутствие конкретной информации означает большую вероятностную энергию для оставшегося ребенка, тогда как во втором случае энтропия огромна, мы имеем не информация, чтобы знать, где делать ставки.

Надеюсь это полезно

Как можно сказать, что ответ 3/51 без расчета?

Если вы взяли туз пик в первую очередь. Я знаю, какие карты находятся в упаковке. Таким образом, на 51 карте осталось 3 туза. так что для второго у вас есть 3/51 шансов получить два туза.

И как интуитивно понять разницу между двумя сценариями?

Это потому, что «Иметь одного туза» включено в «Иметь двух тузов». Но «Пиковый туз» не включен в «Имеют два туза». Это разница.

На самом деле, если у вас есть два туза, у вас есть один, но, возможно, не туз пик, так что это не та же вероятность.

Ответ был за другой пост, который был перемещен на этот ..