Преобразование данных пропорции: когда квадратного корня арксинуса недостаточно

Есть ли (более сильная?) Альтернатива квадратному корню арксин для преобразования процент / пропорция? В наборе данных, над которым я сейчас работаю, заметная гетероскедастичность сохраняется после того, как я применяю это преобразование, то есть график зависимости остатков от подгоночных значений все еще очень ромбовидный.

Отредактировано, чтобы отвечать на комментарии: данные представляют собой инвестиционные решения участников эксперимента, которые могут инвестировать 0-100% от фонда, кратного 10%. Я также посмотрел на эти данные, используя порядковую логистическую регрессию, но хотел бы увидеть, что произвел бы действительный glm. Кроме того, я мог бы увидеть, что ответ будет полезен для будущей работы, так как квадратный корень arcsin, кажется, используется в качестве единого решения для всех в моей области, и я не встречал никаких альтернативных вариантов применения.

Конечно. Джон Тьюки описывает семейство (растущих, однозначных) преобразований в EDA . Он основан на этих идеях:

1. Уметь удлинять хвосты (в направлении 0 и 1) в соответствии с параметром.

2. Тем не менее, чтобы соответствовать оригинальным (непреобразованным) значениям ближе к середине ( $1/2$ ), что делает преобразование легче интерпретировать.

3. Для того, чтобы повторно выражение симметричными относительно $1/2.$ То есть, если $p$ является повторно выражена как $f(p)$ , то $1-p$ будет повторно выражена как $-f(p)$ .

Если вы начнете с любой возрастающей монотонной функции $g: (0,1) \to \mathbb{R}$ дифференцируется в$1/2$ вы можете настроить его для удовлетворения второго и третьего критерия: просто определить

Числитель явно симметричен (критерий $(3)$ ), потому что замена $p$ на $1-p$ обращает обратное вычитание, тем самым отрицая его. Для того, чтобы видеть , что $(2)$ выполнено, к сведению , что знаменатель именно фактор необходимо , чтобы сделать $f^\prime(1/2)=1.$ Напомним , что производная аппроксимирует локальное поведение функции с линейной функцией; наклон $1=1:1$ означает, что $f(p)\approx p$(плюс константа $-1/2$ ) , когда $p$ достаточно близко к $1/2.$ Именно в этом смысле , в котором исходные значения «соответствуют ближе к середине.»

Тьюки называет это «свернутой» версией $g$ . Его семейство состоит из степенных и лог-преобразований $g(p) = p^\lambda$ где, когда $\lambda=0$ , мы рассматриваем $g(p) = \log(p)$ .

Давайте посмотрим на некоторые примеры. При $\lambda = 1/2$ мы получаем сложенный корень, или «Фрут» $f(p) = \sqrt{1/2}\left(\sqrt{p} - \sqrt{1-p}\right)$. Когда$\lambda = 0$мы имеем сложенный логарифм, или «flog»,$f(p) = (\log(p) - \log(1-p))/4.$ Очевидно, это всего лишь постоянное число, кратноелогит-преобразованию,$\log(\frac{p}{1-p})$.

На этом графике синие линий соответствуют $\lambda=1$ , промежуточной красной линии $\lambda=1/2$ , и крайней зеленой линию $\lambda=0$ . Пунктирная золотая линия - арксинусное преобразование, $\arcsin(2p-1)/2 = \arcsin(\sqrt{p}) - \arcsin(\sqrt{1/2})$. «Соответствие» склонов (критерий$(2)$) вызывает все графики совпадают вблизи$p=1/2.$

Наиболее полезные значения параметра $\lambda$ лежат между $1$ и $0$ . (Вы можете сделать хвосты еще тяжелее с отрицательными значениями $\lambda$ , но это использование редко.) $\lambda=1$ ничего вообще не делать , кроме центрирования значений ( $f(p) = p-1/2$ ). По мере того как $\lambda$ сжимается к нулю, хвосты тянутся дальше к $\pm \infty$ . Это удовлетворяет критерию № 1. Таким образом, выбирая подходящее значение $\lambda$ , вы можете контролировать «силу» этого повторного выражения в хвостах.

Одним из способов включения является включение индексированного преобразования. Один общий способ заключается в использовании любой симметричной (обратной) кумулятивной функции распределения, так что и F ( x ) = 1 - F ( - x ) . Одним из примеров является стандартное распределение Стьюдента с ν степенями свободы. Параметр v контролирует, насколько быстро преобразованная переменная уходит в бесконечность. Если вы установите v = 1, то у вас есть преобразование арктана:$F(0)=0.5$$F(x)=1-F(-x)$$\nu$$v$$v=1$

Это намного более экстремально, чем arcsine, и более экстремально, чем logit-преобразование. Обратите внимание, что логит-преобразование можно приблизительно аппроксимировать, используя t-распределение с . Так или иначе, это обеспечивает приблизительную связь между логитом и пробитом ( ν $\nu\approx 8$преобразованиями ∞ ) и распространяет их на более экстремальные преобразования.$\nu=\infty$

Проблема с этими преобразованиями состоит в том, что они дают когда наблюдаемая пропорция равна 1 или 0 . Таким образом , вы должны как - то сжать их каким - то образом - самый простой способ в том , чтобы добавить + 1 «успехи» и + 1 «провалы».$\pm\infty$$1$$0$$+1$$+1$