Каково распределение отношения двух пуассоновских случайных величин?

У меня есть вопрос относительно случайных величин. Предположим , что у нас есть две случайные величины и . Скажем, - это распределение Пуассона с параметром , а - это распределение Пуассона с параметром . $X$ $Y$ $X$ $\lambda_1$ $Y$ $\lambda_2$

Когда вы строите трещину из и называете ее случайной переменной , как она распределяется и каково среднее значение? Это ? $X/Y$ $Z$ $\lambda_1/\lambda_2$

random-variable poisson-distribution

— MarkDollar
источник

Я просто случайно сталкивался с этим при поиске ссылок. Вывод для коэффициента Пуассона довольно прост для частых ( Нельсон, 1970, «Доверительные интервалы для отношения двух значений Пуассона и интервалов Пуассона-предиктора» ) и для байесов (Lindley, 1965). Нет проблем с нулевым знаменателем!

— Фрэнк Туйл

Первому спрашивающему и другим может быть интересно отметить, что имеет ожидаемое значение . В зависимости от вашего приложения это может быть больше пользы , чем . Для получения более подробной информации см. Мою статью в «Журнале аналитической атомной спектрометрии», 28 , 52, под названием «Статистическое смещение в изотопных отношениях» с DOI: 10.1039 / C2JA10205F.

X / (Y + 1)

$X/(Y+1)$

(λ_{1} / λ_{2}) (1 - e^{- λ_{2}})

$(\lambda_1/\lambda_2) (1-e^{-\lambda_2})$

X / Y

$X/Y$

Это часто встречающаяся проблема в астрономии. Байесовское решение было разработано Park et al. (2006, Astrophysical Journal, v652, 610-628, Байесовская оценка коэффициентов твердости: моделирование и вычисления ). Они включают фоновое загрязнение при лечении.

— user78543

Из аннотации не очевидно, что они имеют дело с вопросом ОП. Как эта статья относится к распределению отношения двух пуассоновских случайных величин?

— Энди

ttu-ir.tdl.org/ttu-ir/bitstream/handle/2346/59954/…

— kjetil b halvorsen

Ответы:

Я думаю, у тебя будут проблемы с этим. Поскольку переменная Y будет иметь нули, X / Y будет иметь некоторые неопределенные значения, так что вы не получите распределение.

— bill_080
источник

+1 Точно. Но (чтобы избежать возможной путаницы) проблема не только в том, что

может равняться

: это в том, что он может равняться

с положительной вероятностью. (Например, частное от нормалей имеет распределение, даже если знаменатель может быть равен

) Таким образом,

не определено с положительной вероятностью, что делает его среднее (и любой другой момент) также неопределенным.

Y

$Y$

0

$0$

0

$0$

0

$0$

X / Y

$X/Y$

— whuber

+1, но в литературе о ложных показателях обнаружения у людей нет проблем с

где

- это истинные позитивы, а

- общее количество позитивов :-). Принято

X / Y

$X/Y$

X

$X$

Y

$Y$

— считать

@Mark: Вероятно, лучше задать этот вопрос как новый вопрос и узнать, что конкретно вы пытаетесь достичь.

— bill_080

@NRH В вашем случае существует сильная зависимость

от

. Это полностью меняет дело, потому что теперь вероятность положительного: нулевого отношения равна нулю.

X

$X$

Y

$Y$

— uber

@ whuber, это конечно верно. Спасибо что подметил это. Я просто думал, что, может быть, существует негласное соглашение, чтобы сделать проблему значимой. Но из комментария @ MarkDollar выше кажется, что это не тот случай с самого начала.

— NRH

Понимая, что отношение на самом деле не является четко определенным измеримым множеством, мы переопределяем соотношение как правильно измеряемый набор где суммирование следует до тех пор, пока, аи- независимые переменные Пуассона. Плотность следует из теоремы Радона-Никодима.

п [\frac{Икс}{Y} \leq р] знак равно п [Икс \leq р Y] знак равно Σ_{Y знак равно 0}^{\infty} Σ_{Икс знак равно 0}^{⌊ р Y ⌋} \frac{λ_{2}^{Y}}{Y!} е^{- λ_{2}} \frac{λ_{1}^{Икс}}{Икс!} е^{- λ_{1}}

$\mathbb{P}\left[\frac{X}{Y} \leq r \right] := \mathbb{P}\left[X \leq r Y\right]\\ = \sum_{y = 0}^\infty \sum_{x=0}^{\left\lfloor ry \right\rfloor} \frac{\lambda_{2}^y }{y!}e^{-\lambda_2} \frac{\lambda_{1}^x }{x!}e^{-\lambda_1}$

r > 0

$r > 0$

X

$X$

Y

$Y$

— Аарон Шелдон
источник

Предположим, что

происходит из усеченного до нуля распределения Пуассона. Будет ли ответ тогда:

Y

$Y$

— Brash Equilibrium