Теория экстремальных ценностей - шоу: от нормального к гумбелю

Максимум iid Стандартные нормальности сходятся к стандартному распределению Гамбеля в соответствии с теорией экстремальных значений .$X_1,\dots,X_n. \sim$

Как мы можем показать это?

У нас есть

$$P(\max X_i \leq x) = P(X_1 \leq x, \dots, X_n \leq x) = P(X_1 \leq x) \cdots P(X_n \leq x) = F(x)^n$$

Нам нужно найти / выбрать последовательностей констант, таких что:$a_n>0,b_n\in\mathbb{R}$

$$F\left(a_n x+b_n\right)^n\rightarrow^{n\rightarrow\infty} G(x) = e^{-\exp(-x)}$$

Вы можете решить это или найти это в литературе?

Есть примеры pg.6 / 71 , но не для случая Normal:

$$\Phi\left(a_n x+b_n\right)^n=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{a_n x+b_n} e^{-\frac{y^2}{2}}dy\right)^n\rightarrow e^{-\exp(-x)}$$

Косвенный путь заключается в следующем:
для абсолютно непрерывных дистрибутивов Ричард фон Мизес (в статье 1936 года «Распределение де ла плюс гранд де вальерс» , которая, как представляется, была воспроизведена на английском языке?) В издании 1964 года с избранным его работы), предоставил следующие достаточные условия для того, чтобы максимум выборки сходился к стандартному Гумбелю $G(x)$ :

Пусть - общая функция распределения случайных переменных, а их общая плотность. Тогда, если$F(x)$f ( x $n$$f(x)$

$$\lim_{x\rightarrow F^{-1}(1)}\left (\frac d{dx}\frac {(1-F(x))}{f(x)}\right) =0 \Rightarrow X_{(n)} \xrightarrow{d} G(x)$$

Используя обычные обозначения для стандартной нормали и вычисляя производную, мы имеем

$$\frac d{dx}\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)} = \frac {-\phi(x)^2-\phi'(x)(1-\Phi(x))}{\phi(x)^2} = \frac {-\phi'(x)}{\phi(x)}\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}-1$$

Обратите внимание, что . Также для нормального распределения . Таким образом, мы должны оценить пределF-1(1)=$\frac {-\phi'(x)}{\phi(x)} =x$$F^{-1}(1) = \infty$

$$\lim_{x\rightarrow \infty}\left (x\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}-1\right)$$

Но - это отношение Милла, и мы знаем, что отношение Милля для стандартной нормали стремится к ростом . Так 1/x$\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}$$1/x$$x$

$$\lim_{x\rightarrow \infty}\left (x\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}-1\right) = x\frac {1}{x}-1= 0$$

и достаточное условие выполнено.

Соответствующий ряд задается как

$$a_n = \frac 1{n\phi(b_n)},\;\;\; b_n = \Phi^{-1}(1-1/n)$$

ДОПОЛНЕНИЕ

Это из гл. 10.5 книги HA David & HN Nagaraja (2003), «Статистика заказов» (3-е издание) .

f ( t ) f ( t ) w ( t $\xi_a = F^{-1}(a)$ . Кроме того, ссылка на де Хаана звучит так: «Хаан, Л.Д. (1976). Образцы крайностей: элементарное введение. Statistica Neerlandica, 30 (4), 161-172». Но будьте осторожны, поскольку некоторые из обозначений имеют различное содержание в де Хаане - например, в книге - функция плотности вероятности, тогда как в де Хаане означает функцию книги (то есть отношение Милля). Также де Хаан рассматривает достаточное условие, уже дифференцированное.$f(t)$ $f(t)$$w(t)$

Вопрос задает две вещи: (1) как показать, что максимум сходится, в том смысле, что сходится (в распределении) для соответственно выбранных последовательностей и , к стандартному распределению Гамбеля и (2) как найти такие последовательности. ( X ( n ) - b n ) / a n ( a n ) ( b n$X_{(n)}$$(X_{(n)}-b_n)/a_n$$(a_n)$$(b_n)$

Первый хорошо известен и задокументирован в оригинальных работах по теореме Фишера-Типпетта-Гнеденко (ФТГ). Второй кажется более сложным; это проблема, решаемая здесь.

Пожалуйста, обратите внимание, чтобы уточнить некоторые утверждения, появляющиеся в других местах в этой теме, что

1. Максимум не сходится ни к чему: он расходится (хотя и крайне медленно).

2. Похоже, существуют разные соглашения относительно распределения Гамбеля. Я приму соглашение о том, что CDF с обратным распределением Гамбеля, с точностью до масштаба и местоположения, определяется как . Соответствующим образом стандартизированный максимум iid Нормальных вариаций сходится к обращенному распределению Гамбеля.$1-\exp(-\exp(x))$

---

Интуиция

Когда являются IID с общей функцией распределения , распределение максимальной является F X ( n $X_i$$F$$X_{(n)}$

$$F_n(x) = \Pr(X_{(n)}\le x) = \Pr(X_1 \le x)\Pr(X_2 \le x) \cdots \Pr(X_n \le x) = F^n(x).$$

Когда носитель не имеет верхней границы, как в случае нормального распределения, последовательность функций движется навсегда вправо без ограничения:F $F$$F^n$

Частичные графики для n = 1 , 2 , 2 2 , 2 4 , 2 8 , 2 16 показаны.$F_n$$n=1,2,2^2, 2^4, 2^8, 2^{16}$

Чтобы изучить формы этих распределений, мы можем сдвинуть каждое обратно влево на некоторую величину и изменить его на a n, чтобы сделать их сопоставимыми.$b_n$$a_n$

Каждый из предыдущих графиков был смещен, чтобы поместить его медиану в и сделать его межквартильный диапазон длины единицы.$0$

FTG утверждает, что последовательности и ( b n ) могут быть выбраны так, чтобы эти функции распределения сходились поточечно при каждом x к некоторому экстремальному распределению значений , вплоть до масштаба и местоположения. Когда F является нормальным распределением, конкретное предельное распределение экстремальных значений является обратным Гумбелем, вплоть до местоположения и масштаба.$(a_n)$$(b_n)$$x$$F$

---

Решение

$F_n$$a_n$$b_n$

$0 \lt q \lt 1$$F_n$$q$$x_q$$F_n(x_q) = q$$F_n(x) = F^n(x)$

$$x_{q;n} = F^{-1}(q^{1/n}).$$

Поэтому мы можем установить

$$b_n = x_{1/2;n},\ a_n = x_{3/4;n} - x_{1/4;n};\ G_n(x) = F_n(a_n x + b_n).$$

$G_n$$0$$1$$G_n$$0$$1$$\beta$$\alpha$$\alpha + \beta \log\log(2)$$\beta(\log\log(4) - \log\log(4/3))$

$$\alpha = \frac{\log\log 2}{\log\log(4/3) - \log\log(4)};\ \beta = \frac{1}{\log\log(4) - \log\log(4/3)}.$$

$a_n$$b_n$$G_n$$F$

$$a_n^\prime = \frac{\log \left(\left(4 \log^2(2)\right)/\left(\log^2\left(\frac{4}{3}\right)\right)\right)}{2\sqrt{2\log (n)}},\ b_n^\prime = \sqrt{2\log (n)}-\frac{\log (\log (n))+\log \left(4 \pi \log ^2(2)\right)}{2 \sqrt{2\log (n)}}$$

будет работать нормально (и настолько просто, насколько это возможно).

$G_n$$n=2, 2^6, 2^{11}, 2^{16}$$a_n^\prime$$b_n^\prime$$\alpha$$\beta$$x$

---

Ссылки

Б. В. Гнеденко, Об предельном распределении максимального члена в случайном ряду . В Kotz и Johnson, прорывы в статистике, том I: Основы и базовая теория, Springer, 1992. Перевод Нормана Джонсона.