Распределение «несмешанных» частей в зависимости от порядка смешивания

Предположим, у меня есть парные наблюдения, нарисованные как для . Пусть и обозначим через - й по величине наблюдаемое значение . Что такое (условное) распределение ? (или, что то же самое, что ) $X_i \sim \mathcal{N}\left(0,\sigma_x^2\right), Y_i \sim \mathcal{N}\left(0,\sigma_y^2\right),$ $i=1,2,\ldots,n$ $Z_i = X_i + Y_i,$ $Z_{i_j}$ $j$ $Z$ $X_{i_j}$ $Y_{i_j}$

То есть каково распределение $X_i$ обусловленное тем, что $Z_i$ является $j$ м наибольшим из $n$ наблюдаемых значений $Z$ ?

Я предполагаю, что при $\rho = \frac{\sigma_x}{\sigma_y} \to 0$ распределение $X_{i_j}$ сходится к безусловному распределению $X$ , а как $\rho \to \infty$ - распределение $X_{i_j}$ сходится к безусловному распределению $j$ го порядка статистики из $X$ . В середине, однако, я не уверен.

distributions order-statistics shrinkage

— shabbychef
источник

Я удалил тег «смесь», потому что это вопрос о сумме (или, что эквивалентно, о коррелированных нормальных переменных), а не о их смеси.

— whuber

X_{i}

$X_i$ также считается независимым от , да?

Y_{i}

$Y_i$

— кардинал

@ Cardinal: да, они независимы.

— Шаббычеф

Недавний и связанный с этим вопрос, который всплыл на math.SE: math.stackexchange.com/questions/38873/…

— кардинал

Решение, опубликованное на math.SE, концептуально идентично решению, которое я даю ниже, но сформулировано с использованием несколько иной терминологии.

— NRH

Ответы:

Обратите внимание, что случайная величина является функцией только от . Для вектора мы пишем для индекса й наибольшей координаты. Пусть также обозначает условное распределение заданном . $i_j$ $\mathbf{Z} = (Z_1, \ldots, Z_n)$ $n$ $\mathbf{z}$ $i_j(\mathbf{z})$ $j$ $P_z(A) = P(X_1 \in A \mid Z_1 = z)$ $X_1$ $Z_1$

Если мы разбиваем вероятности в соответствии со значением и дезинтегрируем wrt мы получаем $i_j$ $\mathbf{Z}$

\begin{array}{rcl} P (X_{i_{j}} \in A) & = & \sum_{k} P (X_{k} \in A, i_{j} = k) \\ = & \sum_{k} \int_{(i_{j} (z) = k)} P (X_{k} \in A ∣ Z = z) P (Z \in d z) \\ = & \sum_{k} \int_{(i_{j} (z) = k)} P (X_{k} \in A ∣ Z_{k} = z_{k}) P (Z \in d z) \\ = & \sum_{k} \int_{(i_{j} (z) = k)} P_{z_{k}} (A) P (Z \in d z) \\ = & \int P_{z} (A) P (Z_{i_{j}} \in d z) \end{array}

$\begin{array}{rcl} P(X_{i_j} \in A) & = & \sum_{k} P(X_k \in A, i_j = k) \\ & = &\sum_k \int_{(i_j(z) = k)} P(X_k \in A \mid \mathbf{Z} = \mathbf{z}) P(\mathbf{Z} \in d\mathbf{z}) \\ & = & \sum_k \int_{(i_j(z) = k)} P(X_k \in A \mid Z_k = z_k) P(\mathbf{Z} \in d\mathbf{z}) \\ & = & \sum_k \int_{(i_j(z) = k)} P_{z_k}(A) P(\mathbf{Z} \in d\mathbf{z}) \\ & = & \int P_{z}(A) P(Z_{i_j} \in dz) \\ \end{array}$

Этот аргумент является довольно общим и опирается только на заявленные предположения , и может быть любой заданной функцией . $Z_k$ $(X_k, Y_k)$

При допущениях нормальных распределений (принимая ) и является суммой, условное распределение заданном равно и @probabilityislogic показывает, как вычислить распределение , поэтому мы имеем явные выражения для обоих распределений, которые входят в последний интеграл выше. Может ли интеграл быть вычислен аналитически - это другой вопрос. Вы могли бы быть в состоянии, но изо всех сил я не могу сказать, возможно ли это. Для асимптотического анализа, когда или $\sigma_y = 1$ $Z_k$ $X_1$ $Z_1 = z$

N (\frac{σ_{x}^{2}}{1 + σ_{x}^{2}} z, σ_{x}^{2} (1 - \frac{σ_{x}^{2}}{1 + σ_{x}^{2}}))

$N\left(\frac{\sigma_x^2}{1+\sigma_x^2} z, \sigma_x^2\left(1 - \frac{\sigma_x^2}{1+\sigma_x^2}\right)\right)$

Z_{i_{j}}

$Z_{i_j}$

σ_{x} \to 0

$\sigma_x \to 0$

σ_{x} \to \infty

$\sigma_x \to \infty$ это может быть не нужно.

Интуиция, лежащая в основе приведенного выше вычисления, состоит в том, что это аргумент условной независимости. Учитывая переменные и независимы. $Z_{k} = z$ $X_{k}$ $i_j$

— NRH
источник

Распределение несложно, и оно определяется составным распределением Beta-F: $Z_{i_{j}}$

p_{Z_{i_{j}}} (z) d z = \frac{n!}{(j - 1)! (n - j)!} \frac{1}{σ_{z}} ϕ (\frac{z}{σ_{z}}) {[Φ (\frac{z}{σ_{z}})]}^{j - 1} {[1 - Φ (\frac{z}{σ_{z}})]}^{n - j} d z

$p_{Z_{i_{j}}}(z)dz=\frac{n!}{(j-1)!(n-j)!} \frac{1}{\sigma_{z}}\phi(\frac{z}{\sigma_{z}})\left[\Phi(\frac{z}{\sigma_{z}})\right]^{j-1}\left[1-\Phi(\frac{z}{\sigma_{z}})\right]^{n-j}dz$

Где - это стандартный нормальный PDF, а - стандартный нормальный CDF, а . $\phi(x)$ $\Phi(x)$ $\sigma_{z}^{2}=\sigma_{y}^{2}+\sigma_{x}^{2}$

Теперь, если вам задано, что , то является функцией 1-к-1 , а именно . Так что я думаю, что это должно быть простое применение правила Якобиана. $Y_{i_{j}}=y$ $X_{i_{j}}$ $Z_{i_{j}}$ $X_{i_{j}}=Z_{i_{j}}-y$

p_{X_{i_{j}} | Y_{i_{j}}} (x | y) = \frac{n!}{(j - 1)! (n - j)!} \frac{1}{σ_{z}} ϕ (\frac{x + y}{σ_{z}}) {[Φ (\frac{x + y}{σ_{z}})]}^{j - 1} {[1 - Φ (\frac{x + y}{σ_{z}})]}^{n - j} d x

$p_{X_{i_{j}}|Y_{i_{j}}}(x|y)=\frac{n!}{(j-1)!(n-j)!} \frac{1}{\sigma_{z}}\phi(\frac{x+y}{\sigma_{z}})\left[\Phi(\frac{x+y}{\sigma_{z}})\right]^{j-1}\left[1-\Phi(\frac{x+y}{\sigma_{z}})\right]^{n-j}dx$

Это кажется слишком простым, но я думаю, что это правильно. Рад быть показанным неправильно.

— probabilityislogic
источник

Вы неправильно поняли вопрос. Я ищу распределение как функцию . Я на самом деле не наблюдаю и и не могу их обусловить. Можно предположить, wlog, что , и, таким образом, рассматривать только параметры .

X_{i_{j}}

$X_{i_j}$

j, n, σ_{x}, σ_{y}

$j, n, \sigma_x, \sigma_y$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

σ_{x} = 1

$\sigma_x = 1$

j, n, σ_{y}

$j, n, \sigma_y$

— Шаббычеф

хорошо - так в принципе вам нужно удалить

из этого уравнения? (интегрировано)

y

$y$

— вероятностная

да; и это не зависит от Z ...

— shabbychef