Честная монета подбрасывается, пока в первый раз не поднимется голова. Вероятность того, что это произойдет при броске нечетного числа, равна?

Честная монета подбрасывается, пока в первый раз не поднимется голова. Вероятность того, что это произойдет при броске нечетного числа, равна? Как мне подойти к этой проблеме?

Сложите вероятности того, что монета впервые выпадет из головы на броске 1, 3, 5 ...

$p_o = 1/2 + 1/2^3 + 1/2^5 + ...$

• термин довольно очевидно, это вероятность того , что первый бросок , являющихся главами.$1/2$

• члена есть вероятность получения головы в первый раз на третьем бросании, или ТОЙ последовательность. Эта последовательность имеет вероятность . 1 / 2 * 1 / 2 * 1 /$1/2^3$$1/2 * 1/2 * 1/2$

• член есть вероятность получения головы в первый раз на пятом броске, или TTTTH последовательности. Эта последовательность имеет вероятность . 1 / 2 * 1 / 2 * 1 / 2 * 1 / 2 * 1 /$1/2^5$$1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2$

Теперь мы можем переписать серию выше, как

$p_o = 1/2 + 1/8 + 1/32 + ...$

Это геометрический ряд, который составляет . Самый простой способ показать это - наглядный пример. Начать с серии$2/3$

$p = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ...$

Это геометрический ряд, сумма которого равна .$1$

Если мы сложим только четные члены этой серии, мы увидим, что они составляют .$1/3$

$1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ... = 1/3$

Если вы исключите четные термины из полной последовательности, у вас останутся только нечетные термины, которые должны составлять в .$2/3$

$p_o = 1/2 + 1/8 + 1/32 + ... = 2/3$

Думайте рекурсивно - пусть будет вероятностью первой головы на нечетном броске, и пусть будет вероятностью первой головы на четном броске. Теперь , и мы также имеем, что равно вероятности первого броска хвостов, умноженному на . Таким образом, ; ; .$p_o$$p_e$$p_o+p_e=1$$p_e$$p_o$$p_e = 1/2\cdot p_o$$p_o+1/2\cdot p_o = 1$$p_o = 2/3$