Функции генерирования момента и преобразования Фурье?

Является ли функция, генерирующая моменты, преобразованием Фурье функции плотности вероятности?

Другими словами, является ли функция, генерирующая момент, всего лишь спектральным разрешением распределения плотности вероятности случайной величины, то есть эквивалентным способом характеризации функции по ее амплитуде, фазе и частоте, а не по параметру?

Если да, можем ли мы дать физическую интерпретацию этому зверю?

Я спрашиваю, потому что в статистической физике функция генерации кумулянта , логарифм функции генерации момента, является аддитивной величиной, которая характеризует физическую систему. Если вы рассматриваете энергию как случайную величину, то ее кумулянт-генерирующая функция имеет очень интуитивную интерпретацию как распределение энергии по всей системе. Существует ли аналогичная интуитивная интерпретация для функции, генерирующей момент?

Я понимаю математическую полезность этого, но это не просто концепция трюка, конечно, есть смысл за этим концептуально?

moments mgf cumulants

— bolbteppa
источник

Я считаю, что это характерная функция, которая больше напоминает преобразование Фурье. Генерирующая момент функция является преобразованием Лапласа.

— Плацидия

Интересно: «Преобразование Лапласа связано с преобразованием Фурье, но в то время как преобразование Фурье разрешает функцию или сигнал в его режимы колебаний, преобразование Лапласа разрешает функцию в его моменты» princeton.edu/~achaney/tmve/wiki100k/ docs /… Тогда я предполагаю, что вопрос - как, интуитивно, преобразование Лапласа разлагает функцию на ее моменты, и существует ли геометрическая интерпретация этого?

— bolbteppa

Это происходит благодаря разложению экспоненциальной функции в ряд Тейлора.

— Плацидия

Теперь все почти имеет смысл! Однако, что это за момент, интуитивно? Я знаю это: «Вообще говоря, момент может быть рассмотрен как отклонение выборки от среднего значения сигнала: первый момент - это среднее значение, второй - дисперсия и т. Д.» Dsp.stackexchange.com/a/ 11032 Однако, что это значит интуитивно? Какова выборка при расчете 1-го / 2-го / 3-го / 4-го момента, скажем, х ^ 2 (с использованием преобразования Лапласа х ^ 2)? Есть ли геометрическая интерпретация?

— bolbteppa

MGF является

$M_{X}(t)=E\left[ e^{tX} \right]$

для реальных значений где ожидание существует. В терминах функции плотности вероятности , $t$ $f(x)$

$M_{X}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}f(x) dx.$

Это не преобразование Фурье (которое будет иметь а не $e^{itx}$ $e^{tx}$ .

$e^{-tx}$ $e^{tx}$

— Брайан Борхерс
источник

E (e^{i t X})

$E(e^{itX})$

E (e^{- i t X})

$E(e^{-itX})$

И, конечно, наиболее полезным свойством является то, что MGF суммы двух независимых случайных величин является произведением их функций, порождающих моменты. Это эквивалентно правилу, согласно которому преобразование Фурье свертки двух функций является произведением их преобразований Фурье.

— Брайан Борчерз