Замкнутая форма выражения для распределения выборочного эксцесса гауссовского распределения

Существует ли выражение в замкнутой форме для распределения выборочного куртоза данных, взятых из распределения Гаусса? т.е.

$P(\hat{K}<a)$ где - примерный эксцесс.$\hat{K}$

Точное распределение выборки сложно получить; были первые несколько моментов (начиная с 1929 года), различные приближения (начиная с начала 1960-х годов) и таблицы, часто основанные на симуляции (начиная с 1960-х годов).

Чтобы быть более конкретным:

Фишер (1929) приводит моменты выборочного распределения асимметрии и эксцесса в нормальных образцах, а Пирсон (1930) (также) дает первые четыре момента выборочного распределения асимметрии и эксцесса и предлагает тесты на их основе.

Так например :$^*$

$E(b_2)=\frac{3(n-1)}{n+1}$

$\text{Var}(b_2)=\frac{24n(n-2)(n-3)}{(n+1)^2(n+3)(n+5)}$

Асимметрия равна$b_2$$\frac{216}{n}(1-\frac{29}{n}+\frac{519}{n^2}-\frac{7637}{n^3}+\ldots)$

Избыточный эксцесс равен .$b_2$$\frac{540}{n}-\frac{20196}{n^2}+\frac{470412}{n^3}+\ldots$

* Остерегайтесь - значения моментов и т. Д. Зависят от точного определения используемого эксцесса образца. Например, если вы видите другую формулу для или , это, как правило, происходит из-за немного другого определения выборочного эксцесса.Var ( b 2$E(b_2)$$\text{Var}(b_2)$

В этом случае вышеуказанные формулы должны применяться к .$b_2=n\frac{\sum_i (X_i-\bar X)^4}{(\sum_i (X_i-\bar X)^2)^2}$

Пирсон (1963) обсуждает аппроксимацию выборочного распределения эксцесса в нормальных образцах с помощью распределения Пирсона типа IV или распределения Джонсона (несомненно, причина, по которой первые четыре момента были даны тремя десятилетиями ранее, была в значительной степени для возможности использования семейства Пирсонов) ,$S_U$

Pearson (1965) приводит таблицы процентилей куртоза для некоторых значений .$n$

D'Agostino и Tietjen (1971) приводят более обширные таблицы процентилей для куртоза.

Д'Агостино и Пирсон (1973) приводят графики процентных точек куртоза, которые снова охватывают более широкий диапазон случаев.

Фишер, Р. А. (1929),
«Моменты и моменты продукта распределений выборки»,
Труды Лондонского математического общества , Серия 2, 30: 199-238.

Пирсон, Е.С., (1930)
«Дальнейшая разработка тестов на нормальность»,
Биометрика , 22 (1-2), 239-249.

Пирсон, Е.С. (1963)
"Некоторые проблемы, возникающие при приближении к вероятностным распределениям с использованием моментов",
Биометрика , 50 , 95-112

Пирсон, Е.С. (1965)
"Таблицы процентных точек и в нормальных выборках: округление", Биометрика , 52 , 282-285 б$\sqrt{b_1}$$b_2$

Д'Агостино, Р.Б. и Титджен, Г.Л. (1971),
"Моделирование точек вероятности для малых выборок", Биометрика , 58 , 669-672.$b_2$

Д'Агостино, Р.Б. и Пирсон, Е.С. (1973),
"Тесты на отклонение от нормальности. Эмпирические результаты для распределения и ", Biometrika , 60 , 613-622.$b_2$$\sqrt{b_1}$

Образец Куртоза из нормальной выборки приблизительно распределен как нормаль с нулевым средним с дисперсией , где - размер выборки (естественно, чем больше тем лучше аппроксимация. Более сложные выражения для дисперсии могут быть находится на странице википедии ). Для гауссовых образцов малого размера (<40) процентили были получены в этой статье: Lacher, DA (1989). Выборочное распределение асимметрии и эксцесса. Клиническая химия, 35 (2), 330-331.n $\approx 24/n$$n$$n$