Непонимание оценки Монте-Карло Пи

Я вполне уверен, что понимаю, как работает интеграция Монте-Карло, но я не понимаю формулировку того, как она используется для оценки числа Пи. Я иду по процедуре, описанной в 5-м слайде этой презентации http://homepages.inf.ed.ac.uk/imurray2/teaching/09mlss/slides.pdf

Я понимаю предварительные шаги. Пи в 4 раза больше площади четверти единицы круга. А площадь верхней правой четверти единичного круга с центром в (0,0) эквивалентна интегралу кривой, которая является верхней правой четвертью единичного круга в$0<x<1$ а также $0<y<1$,

То, что я не понимаю, как этот интеграл

$\iint I((x^2+y^2)<1)P(x,y)dxdy$

где равномерно распределено в единичном квадрате вокруг четверти круга (т. е. оно всегда равно 1, если и и 0 в противном случае). Так что это будет означать, что - это функция, которая является верхним правым квадрантом единичного круга при и но я не понимаю, как это верно, поскольку индикаторная функция может быть только 1 или 0. Я понимаю, что, вероятно, она написана таким образом, чтобы сделать выборку по методу Монте-Карло легкой (т.е. это ожидание, поэтому просто выборка из и получить среднее значение образцов, примененных к$P(x,y)$$0<x<1$$0<y<1$$I((x^2+y^2)<1)P(x,y)$
$0<x<1$$0<y<1$$P(x,y)$$I((x^2+y^2)<1)$) но мне просто не понятно, почему этот интеграл представляет площадь под этой кривой.

Может ли кто-нибудь дать интуитивное объяснение этому. Может быть, покажите, как этот интеграл был получен поэтапно?

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Я смог получить лучшее понимание, связав ожидания с областью. Я объясню это здесь на случай, если это кому-нибудь поможет. Сначала начните с соотнесения Пи с областью верхнего правого квадранта окружности юнита.

$\pi=4\times A_{tr}$

Затем мы помещаем верхний правый квадрант в единицу площади. А при равномерном распределении по единичному квадрату площадь квадранта круга пропорциональна вероятности получения образца из него. Отсюда следует следующее равенство

$P(x^2+y^2<1)=\frac{A_{tr}}{A_{square}}$

и так$A_{square}=1$

$P(x^2+y^2<1)=A_{tr}$

И подставляя в исходное уравнение

$\pi=4\times P(x^2+y^2<1)$

и также верно, что что равно исходному двойному интегралу.$P(x^2+y^2<1)=E[I(x^2+y^2<1)]$

Таким образом, я понял это, связав область с вероятностью, а затем связав эту вероятность с ожиданием, эквивалентным интегралу. Дайте мне знать, если я сделал какие-либо ошибки.

Площадь окружности с радиусом равна . Это означает, что четверть круга имеет площадь . Это означает, что квадрат со стороной радиуса круга как .$l$$\pi l^2$$l^2\pi/4$$area=l^2$

Это означает, что отношение между площадью четверти круга и площадью квадрата равно . $\pi/4$

Точка находится в квадрате, если . и он находится в четверти круга, если . $(x,y)$$0<x<1, 0<y<1$$0<x<1, 0<y<1 ,x^2+y^2<1$

Ваш интеграл Это точно площадь, описанная четвертью круга$∬I((x^2+y^2)<1)P(x,y)= ∬I((x^2+y^2)<1) I(0<x<1)I(0<y<1)$

Простейшее интуитивное объяснение основано на понимании того, что . Таким образом, . Как только вы поймете, что двойной интеграл является просто вероятностью, вам должно быть интуитивно понятно, что вы можете выбрать и из единичного квадрата и вычислить долю ничьей, для которой . $E(I(A)) = P(A)$$\int \int I(x^2+y^2 < 1)dxdy = P(x^2 + y^2 < 1)$$x$$y$$x^2 + y^2 <1$

Возможно, другой частью интуиции, отсутствующей в вашем понимании, является связь между областью и вероятностью. Поскольку площадь всего единичного квадрата равно 1 и точек равномерно распределены в пределах квадрата, площадь любой области в пределах единичного квадрата будет соответствовать вероятности того, что случайно выбранная точка будет находиться в пределах .$(x,y)$$A$$A$

Я попал на это серфовое резюме, и я вижу, что код Монте-Карло находится в Октаве. У меня случается симуляция в R, которая делает идею получения числа как двумерного равномерного распределения в плоскости при ограничениях интегралов в OP очень интуитивной:$\pi$$[0,1]$

Учитывая, что четверть круга заключена в квадрат из 1 единицы, площадь равна . Таким образом, генерация равномерно распределенных точек в квадрате приведет к покрытию всего квадрата, а вычисление дроби, удовлетворяющей будет равносильно интегрированию поскольку мы просто выбираем дробь точек внутри круга по отношению к квадрату единицы:$\pi/4$$(x,y)$$1 < \sqrt{(x^2+y^2)}$$∬\textbf{1}((x^2+y^2)<1) \,\textbf{1}(0<x<1)\,\textbf{1}(0<y<1)$

x <- runif(1e4); y <- runif(1e4)
radius <- sqrt(x^2 + y^2)
# Selecting those values within the circle is obtained with radius[radius < 1]:
(pi = length(radius[radius < 1]) / length(radius)) * 4     =    3.1272

Мы можем построить значения, попадающие в радиус, среди 10 000 ничьих:

И мы, естественно, можем приблизиться и приблизиться, выбрав больше точек. С 1 миллионом очков мы получаем:

(pi = length(radius[radius < 1]) / length(radius)) * 4 [1] 3.141644

очень приблизительный результат. Вот сюжет: