какой эффективный способ найти повторяющиеся десятичные

Я пытаюсь найти эффективный алгоритм в Java, чтобы найти повторяющуюся десятичную часть двух целых чисел aи bгде a/b.

например. 5/7 = 0,714258 714258 ....

В настоящее время я знаю только метод длинного деления.

Я полагаю, что здесь есть два основных подхода: вы можете «грубой силой» искать самую длинную повторяющуюся строку или решить ее как проблему теории чисел.

Прошло много времени с тех пор, как я сталкивался с этой проблемой, но особый случай (1 / n) - это проблема № 26 в Project Euler, поэтому вы можете найти больше информации, найдя эффективные решения для этого конкретного имени. Один поиск приводит нас к веб-сайту Эли Бендерски, где он объясняет свое решение . Вот некоторые из теории на странице десятичных расширений Mathworld :

Любая нерегулярная дробь m/nявляется периодической и имеет период, не lambda(n)зависящий от m, длиной не более n-1 цифры. Если nвзаимно простое с 10, то период lambda(n)из m/nявляется делителем phi(n)и имеет в большинстве phi(n)цифр, где phiэто функция totient. Оказывается, что lambda(n)это мультипликативный порядок 10 (мод n) (Glaisher 1878, Лехмер 1941). Количество цифр в повторяющейся части десятичного разложения рационального числа также можно найти непосредственно по мультипликативному порядку его знаменателя.

Моя теория чисел в настоящее время немного заржавела, поэтому лучшее, что я могу сделать, это указать вам в этом направлении.

Давай n < d, а ты пытаешься выяснить повторяющуюся часть n/d. Позвольте pбыть количество цифр в повторяющейся части: затем n/d = R * 10^(-p) + R * 10^(-2p) + ... = R * ((10^-p)^1 + (10^-p)^2 + ...). Часть в скобках представляет собой геометрический ряд, равный 1/(10^p - 1).

Так n / d = R / (10^p - 1). Переставь, чтобы получить R = n * (10^p - 1) / d. Чтобы найти R, сделайте цикл pот 1 до бесконечности и остановитесь, как только dделится равномерно n * (10^p - 1).

Вот реализация в Python:

def f(n, d):
    x = n * 9
    z = x
    k = 1
    while z % d:
        z = z * 10 + x
        k += 1
    return k, z / d

( kотслеживает длину повторяющейся последовательности, чтобы вы могли различать, например, от 1/9 до 1/99)

Обратите внимание, что эта реализация (по иронии судьбы) зацикливается навсегда, если десятичное расширение конечно, но завершается, если оно бесконечно! Вы можете проверить этот случай, хотя, потому что n/dбудет иметь конечное десятичное представление, только если все основные факторы dэтого не 2 или 5 присутствуют в n.

Длинное деление? : /

Превратите результат в строку, а затем примените этот алгоритм к нему. Используйте BigDecimal, если ваша строка недостаточно длинна для обычных типов.