N ферзей, X по Y вопрос о решении проблемы с советом директоров

Мне задали следующий вопрос в сегодняшнем интервью, и я с тех пор об этом думаю. Я не смог ответить на него и не смог найти решение онлайн.

Учитывая шахматную доску с размерами X от Y и N королев, определите, можно ли расположить этих королев на доске так, чтобы они не могли атаковать друг друга.

Доска 2 x 3 с 2 ферзями имеет решение, поэтому алгоритм вернет true:

Q . .
. . Q

Я ищу программный подход к этой головоломке, а не просто способы ее решения, например, на бумаге.

Это (IMO) не очень интересная проблема с точки зрения программирования. Вы могли бы придумать рекурсивный алгоритм, который пробует каждое расположение, что-то вроде этого:

bool try_queens(Board board, int n)
{
    if (n == 0) {
        // no queens left to place, so we're done
        return true
    }
    // try each open position until we find one that works
    for each position on the board {
        if (is_empty(board, position) and not is_attacked(board, position)) {
            place_queen(board, position)
            if (try_queens(board, n-1)) {
                return true
            }
            remove_queen(board, position)
        }
    }
    // if we get this far, there's no available position
    return false
}

main()
{
    initialize board(X,Y)
    return try_queens(board, N)
}

Если немного подумать о проблеме, вы поймете, что нет способа разместить N королев на доске, где X <N или Y <N, потому что для этого потребуется, чтобы по крайней мере две королевы оказались в одном ранге или файле, и поэтому они будут атаковать друг друга. Если вы прочтете о проблеме n-queens, вы быстро поймете, что всегда можно разместить N ферзей на NxN для N> 3. Теперь мы знаем, что ответ НЕТ для (X <N или Y <N) и ДА для (X> = N и Y> = N, N> 3). Все, что осталось, это особые случаи:

• N = 1 (ДА)
• N = 2 (ДА для X> = 2 и Y> 2 или наоборот)
• N = 3 (ДА для X> = 3 и Y> 3 или наоборот)

Так что теперь наша хорошая рекурсивная функция становится простой функцией, которая просто сравнивает N с X и Y и возвращает стандартный результат. Это здорово с точки зрения производительности, так как вы можете получить ответ в постоянное время. Это не так здорово с точки зрения программирования, потому что в этот момент вы понимаете, что вопрос действительно больше в том, насколько хорошо вы можете решать головоломки, чем в том, как вы можете написать рекурсивную функцию.

(И, боже, боже, я действительно надеюсь, что я не совершил глупой ошибки в своем ответе на умные штаны. ;-)

Если интервьюер попросил вас написать код проблемы, то я думаю, что это несправедливо. Алгоритм требует работы. Однако, если идея состояла в том, чтобы показать интервьюеру классы, методы или некоторые концепции, которые вам нужно использовать, или что-то подобное, то это может быть справедливым вопросом.

Эта проблема является классической проблемой информатики и обсуждается во многих таких книгах. Отличное объяснение, с анимацией и 12 различными решениями вместе с некоторым кодом, можно найти здесь:

http://en.wikipedia.org/wiki/Eight_queens_puzzle

Также код можно найти здесь: http://www.codeproject.com/KB/java/EightQueen.aspx

Не переживайте по этому поводу, как я уже сказал, это не легко.

На самом деле это скорее комментарий, но он там не вписывается ...

Шахматная доска имеет 8х8 квадратов, не больше и не меньше (эти вопросы всегда раздражают меня таким подходом к шахматной доске).

Но в любом случае, если у вас есть х * у шахматная доска и n ферзей, и вы берете, что королева "забирает" эти поля

не могли бы вы просто создать двумерный массив и «пометить» все поля, на которые нападает одна королева. Затем поместите другой (с середины доски), отметьте оставшиеся поля и т. Д., Пока не запустите ни одно из полей или ферзей.

Это, конечно, очень упрощенный подход, так как, если я поставлю его неправильно, я соберу максимальное число ферзей.

Хм, только что нашел это - проблема 8 королев.

По сути, алгоритм возврата работает так:

1. Создайте массив X by Y Установите все квадраты пустыми.

2. Установить счет королевы на ноль.

3. Установите текущую позицию на (1,1)

4. Посмотрите, сможете ли вы поместить королеву в текущую позицию.

5. Если вы можете, установите Array (X, Y) в значение queen, увеличивайте количество ферзей. Если вы разместили всю королеву, остановитесь , у вас есть решение.

6. Если текущая позиция не (X, Y), увеличьте текущую позицию и перейдите к шагу 4.

7. Найдите ферзя в последней позиции (той, которая идет последней в порядке увеличения позиций). Установите текущую позицию в положение этой королевы, удалите ее и уменьшите счет ферзя.

8. Если число ферзей равно нулю, остановитесь , решения не существует.

9. Увеличить текущую позицию.

10. Переходите к шагу 4.

Добавление к другим ответам: создание двумерного массива только усложняет код.

Вам просто нужен вектор 8 размера для обычной шахматной доски. Или 8 + 1, если, как и C, 1-я позиция равна 0, только для упрощения кода и обработки 1-8, а не 0-7.

Если вы думаете, что x - это ваша позиция в массиве, а y - это содержимое позиции. например, доска [1] = 8 означает, что первая ферзь находится в [1,8].

Таким образом, вам нужно только проверить проверку столбцов.

Во время обучения на факультете я натолкнулся на очень старую книгу (60-е годы?) Об алгоритмах, реализованных в Dartmouth BASIC, в которых реализована задача 8 ферзей с использованием как можно меньшего количества памяти (будучи таким старым, это имеет смысл).

Насколько я помню, он использовал векторную идею, и он по сути грубо форсировал все позиции на доске с двумя циклами FOR. Для проверки правильности положения использовался третий цикл, цикл WHILE в каждой позиции возвращается в вектор и проверяется на равное число или на формулу, использующую касательную операцию для проверки диагоналей.

К сожалению, я потерял след этой книги ...

Указанный алгоритм нашел все решения проблемы n-ферзя.

Если вам просто нужно написать алгоритм, чтобы определить, существует ли такая договоренность, посмотрите на существующее исследование:
головоломка «Восемь королев» в Википедии .

Вы можете тривиально вернуть false, если N> min (X, Y).
Прочитав эту страницу, вы узнаете, что возвращаете true, если N <= min (X, Y) и 2, 3! = Min (X, Y).

Что оставляет 2, 3 == min (X, Y) и N <= min (X, Y).

Хорошо, если N <min (X, Y), найти решение тривиально.
Если N == min (X, Y), есть только решение, если max (X, Y)> N.

f(X, Y, N)
    if X < Y => f(Y, X, N)
    if Y > N => false
    => (Y < N) or (Y != 2 and Y != 3) or (X > N)

Очевидно, что решения не существует, если N> min (X, Y). В противном случае вы можете легко показать, что не существует решения для N = X = Y = 2, N = X = Y = 3. Для всех остальных случаев, кажется, есть решение. Число решений, кажется, растет с ростом N.

Вы можете найти решение с помощью исчерпывающего поиска с обратным отслеживанием: поместите ферзь в первый ряд, столбец 1. Поместите ферзь во второй ряд, в первый столбец, которого не может достичь королева в строке 1. Поместите ферзя во второй ряд и т. Д. Если ферзь не может быть помещен в строку k, то вы удалите его и переместите ферзь в строке k-1 в следующую незанятую позицию.