Перечень графиков, полученных из тесселяций Делоне в 3D

Есть ли алгоритм, который перечисляет графики, которые соответствуют некоторой тесселяции Делоне точек в 3D?

Если да, есть ли эффективная параметризация геометрии, которая соответствует любому «графу Делоне»?

Я стремлюсь систематически перечислять все стабильные геометрии молекул определенного состава без какого-либо априорного знания о связывании и т. Д.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Пусть будет множество графов с вершинами. Пусть - отображение точек в на граф, соответствующий тесселяции Делоне указанных точек в 3D. $G_N$ $N$ $D: \mathbb{R}^{3N} \to G_N$ $N$ $\mathbb{R}^3$

Как мне перечислить (эффективно)? $D(\mathbb{R}^{3N})$

Далее, учитывая график , как я могу параметризовать (эффективно)? $g\in G_n$ $D^{-1}(g)$

РЕДАКТИРОВАТЬ: Пример в 2D: для 4 точек есть 2 графика Делоне.

\begin{matrix} 1 & - & 2 & - & 3 \\ ╲ & | & ╱ \\ 4 \end{matrix} and \begin{matrix} 1 & - & 2 \\ | & \times & | \\ 3 & - & 4 \end{matrix}

$\begin{matrix} 1 & - & 2 & - & 3 \\ &\diagdown &| & \diagup\\ &&4 \end{matrix}\mbox{ and } \begin{matrix} 1 & - & 2\\ |& \times & |\\ 3 & - & 4 \end{matrix}$

Или показано явно в плоском виде:

2D графики Делоне для 4 точек

Первый из этих графиков может быть параметризован любой позицией точек 1, 2 и 4, то есть , тогда как точка 3 будет любой точкой где больше радиуса окружности, описывающие точки 1, 2 и 4 с центром в точке и представляют собой положение точки . $\mathbb{R}^{3\times 3}$ $x_3(r,\theta)=c(x_1,x_2,x_4) + r\left(\begin{array}{c} \cos(\theta) \\ \sin(\theta)\end{array}\right)$ $r$ $c(x_1,x_2,x_4)$ $x_i$ $i$

algorithms computational-chemistry delaunay-triangulation

— Deathbreath
источник

Что вы подразумеваете под «эффективной параметризацией геометрии». Кроме того, я не химик, так что значит «стабильная геометрия молекул определенного состава»? С немного большим разъяснением это может быть легко ответственно.

— Гарет А. Ллойд

Для точек общего положения в 3D существует независимых степеней свободы ( для центра масс и еще 3 градуса для главных осей вращения). Каждый такой набор имеет тесселяцию Делоне. Я хотел бы перевернуть этот процесс: учитывая тесселяцию Делоне, я хочу параметризацию всех наборов точек, которая привела бы к этой тесселяции Делоне. Стабильная геометрия - это набор из точек в пространстве с соответствующими положительными весами, для которых функционал энергии локально минимален.

N

$N$

3 N - 6

$3N-6$

3 N - 3

$3N-3$

N

$N$

N

$N$

— Дыхание смерти

Вы просите найти все возможные триангуляции Делоне? Можешь немного уточнить? Вы назначаете награду за это, но я чувствую, что вопрос все еще неясен для многих.

— Сабольч

@Szabolcs: Я надеюсь, что редактирование прояснит проблему.

— Смертельное дыхание

@ Немного вздохните ... правильно ли я понимаю, что вам нужно найти все графики, которые могли бы соответствовать триангуляции Делоне для некоторого набора из точек в 3D? Можете привести конкретный пример? Например, в 2D для 4 точек нужны ли вам графики и (игнорируя коллинеарные точки)? (Цифры представляют вершины и ребра пар цифр в моей записи.)

N

$N$

(12, 23, 31, 24, 43)

$(12, 23, 31, 24, 43)$

(12, 23, 31, 14, 24, 34)

$(12, 23, 31, 14, 24, 34)$

— Сабольч

В Hartvigsen, D .: Распознавание диаграмм Вороного с помощью линейного программирования, представлено несколько алгоритмов, основанных на линейном программировании для распознавания торонализаций Вороного, и говорится, что

[...] для каждого диаграммы Вороного множество точек в содержащихся в некотором порождающем множестве является либо синглтоном, либо внутренностью многогранника. $R_i$ $R_i$ $P$

Кажется, что тема существования и единственности решения обратной задачи Вороного также развита в Winter, LG: Обратная задача к диаграмме Вороного .

— astrojuanlu
источник

Существует только степеней свободы ( если точки находятся на одной линии), так как тесселяция (Вороной или Делоне) является поступательно-вращательно-инвариантной. Я имел в виду тетраэдрацию Делоне (или, в более общем смысле, тесселяцию). Карта , где - набор графов с вершинами, который отображает набор из точек в 3D в граф, соответствующий тесселяции Делоне, имеет теоретическую обратную . Я так понимаю, ваш ответ: а) не является эффективно вычисляемым, б) и ( ) не является?

3 N - 6

$3N-6$

3 N - 5

$3N-5$

D : R^{3 N} \to G_{N}

$D: \mathbb{R}^{3N} \to G_N$

G_{N}

$G_N$

N

$N$

N

$N$

D^{- 1} : G_{N} \to P (R^{3 N - 6})

$D^{-1}: G_N\to P(\mathbb{R}^{3N-6})$

D (R^{N})

$D(\mathbb{R}^N)$

D^{- 1} (g)

$D^{-1}(g)$

g \in G_{N}

$g\in G_N$

— Смертельное дыхание

После понимания ваших проблем и проведения некоторых исследований я нашел некоторые потенциально полезные ресурсы. Обратите внимание, что я не могу прочитать полнотекстовую версию ни одного из них.

— astrojuanlu

Это интересные ссылки. Я получу копии библиотеки для меня.

— Смертельное дыхание

Кажется, эти ссылки труднее получить, чем ожидалось.

— Смертельное дыхание

В любом случае, спасибо за награду, надеюсь, они пригодятся, когда вы, наконец, получите их.

— astrojuanlu