Путаница в отношении Кванта Монте-Карло

Мой вопрос касается извлечения наблюдаемых из методов QMC, как описано в этой ссылке .

Я понимаю формальное происхождение различных методов QMC, таких как Path Integral Monte Carlo. Однако в конце дня я все еще не понимаю, как эффективно использовать эти методы.

Основная идея получения квантовых методов МК заключается в дискретизации с помощью приближения Троттера оператора, который может быть либо матрицей плотности, либо оператором эволюции во времени квантовой системы. Затем мы получаем классическую систему с дополнительной размерностью, которую можно обрабатывать методами MC.

Учитывая , что мы можем интерпретировать в квантовом операторе и как обратная температуру и мнимое время, цель этих алгоритмов должна вычислить приближение этого оператора. Действительно, если бы мы непосредственно измеряли величины из различных конфигураций, отобранных вдоль моделирования, в случае «обратной температуры» у нас были бы выборки, учитывающие плотность вероятности на основе , где $\beta$ $e^{−\beta\hat{H}}$ $\beta/M$ $M$ число дискретных шагов, введенных в разложение Троттера. Вместо этого в случае «мнимого времени» мы будем получать выборки с различными дискретными временными шагами, получая, таким образом, и средние значения по времени. Мы также не получили бы величины , как в данный момент времени , с некоторым наблюдаемым оператором. $\langle\psi_t|\hat{A}|\psi_t\rangle$ $t$ $\hat{A}$

Однако, по моему мнению, количества, которые мы выбираем непосредственно из этого вида моделирования (взяты из (5.34) документа, стр. 35):

\bar{O} \equiv ⟨ \hat{O} (X) ⟩ \equiv \frac{1}{N!} \sum_{P} \int O (X) π (X, P) d X

$\bar{O} \equiv \langle \hat{O}(X) \rangle \equiv \frac{1}{N!} \sum_P \int O(X) \pi(X,P) dX$

$M$

\frac{E_{t h}}{N} = ⟨ \frac{d}{2 τ} - \frac{m}{2 (ℏ τ)^{2} M N} \sum_{j = 1}^{M} (R_{j} - R_{j + 1})^{2} + \frac{1}{M N} \sum_{j = 1}^{M} V (R_{j}) ⟩

$\frac{E_{th}}{N}= \left\langle \frac{d}{2 \tau} - \frac{m}{2 (\hbar \tau)^2MN } \sum_{j=1}^{M} (\mathbf{R}_j -\mathbf{R}_{j+1})^2 + \frac{1}{MN} \sum_{j=1}^{M} V(\mathbf{R}_j) \right\rangle$

Прав ли я, что необходима серия симуляций QMC для извлечения полезной информации о данной наблюдаемой?

monte-carlo quantum-mechanics

— Пиппо
источник

При условии, что я вас правильно понимаю, мне кажется, что эти два подхода эквивалентны, если система эргодична.

— Даниэль Шаперо

@DanielShapero Что вы имеете в виду под "эквивалентностью"?

— Пиппо

Я просто погуглил интегральный путь Монте-Карло, и вы должны просто игнорировать то, что я сказал, это не имеет значения.

— Даниэль Шаперо

Я не думаю, что есть какие-либо сомнения относительно Quantum Monte Carlo; это очень хорошо понято и строго поддерживается теоретически ...

— Ник

β / M

$\beta/M$

β

$\beta$

M

$M$

M

$M$

Ответы:

В вашем вопросе много путаницы. Самым важным для меня является то, что вы упускаете тот «наивный» QMC, который представляет собой вычисление интегралов по методу Монте-Карло в некотором вариационном методе, а диффузия по Монте-Карло - это разные методы с различной аргументацией и выводом.

Однако главное - это воображаемое время. В диффузии мнимое-карло мнимое время - это уловка для преобразования не зависящего от времени уравнения Шредингера в зависящее от времени диффузионное уравнение, решение которого в бесконечном «временном» пределе стремится к решению исходного уравнения Шредингера. Вот и все. Время в DQMC не реально.

Относительно хорошее, но простое объяснение дается в Обзорах современной физики, 73, 33 (2001) .

PS Кстати, что вы подразумеваете под «приближением Троттера» в своем вопросе?

— Миша
источник

Я не думаю, что это замешательство - мой вопрос, поскольку я никогда не ссылался на Diffusion MC, идея которого совершенно иная, хотя она также начинается с дискретизации оператора плотности / эволюции времени (но заканчивается с другой интерпретацией Это).

— Пиппо

e^{- β \hat{H}}

$e^{−\beta\hat{H}}$

e^{- τ \hat{H}} \cdot e^{- τ \hat{H}} \cdot . . . \cdot e^{- τ \hat{H}}

$e^{−\tau\hat{H}}\cdot e^{−\tau\hat{H}}\cdot ... \cdot e^{−\tau\hat{H}}$

τ

$\tau$

β / M

$\beta/M$

Кстати, в конце я решил свою проблему, обратившись непосредственно к профессору в конце экзамена (который прошел очень хорошо: D), и да, мы не можем напрямую связать моделируемые величины с квантовыми желаемыми.

— Пиппо

@Pippo Итак, на самом деле вы имели в виду Path-Integral Monte Carlo. Я до сих пор не вижу, чтобы вы упомянули это в своем вопросе.

— Миша,

Вторая строка: «Я понимаю формальное происхождение различных методов QMC, таких как Path Integral Monte Carlo». ;)

— Пиппо

Вы правы в том, что люди постоянно используют методы Монте-Карло для расчета статистических средних (в отличие от информации с временным разрешением). Это не обязательно верно, что это то, что должно быть рассчитано: это зависит от того, какую информацию вы хотите. Возможно, у вас есть внешнее воздействие, зависящее от времени, например, и вы хотите посмотреть, как система развивается в ответ.

— Дэн
источник

Спасибо, что ответили. Я постараюсь дать более подробную информацию о том, что я прошу. Чтобы сделать себя более понятным, я буду ссылаться на эту работу, которую я нашел в Интернете: itp.phys.ethz.ch/education/fs12/cqp/chapter05.pdf

— Pippo

Основная идея получения квантовых методов МК состоит в том, чтобы с помощью приближения Троттера дискретизировать оператор, который может быть либо матрицей плотности, либо оператором эволюции во времени квантовой системы; таким образом, мы получаем классическую систему с дополнительным измерением, которая может быть обработана методами MC.

— Пиппо

M

$M$

Здесь возникает мой вопрос: прав ли я с моей интерпретацией квантовых методов Монте-Карло?

— Пиппо

Я также отредактирую свой оригинальный вопрос.

— Пиппо