FAS-multigrid медленнее, чем линейная коррекция дефектов?

Я реализовал многосеточный решатель V-Cycle, используя как линейную коррекцию дефектов (LDC), так и схему полного приближения (FAS).

Моя проблема заключается в следующем: при использовании LDC остаток уменьшается в ~ 0,03 раза за цикл. Реализация FAS тоже сходится с линейным коэффициентом, но коэффициент составляет всего ~ 0,58. Таким образом, ФАС нужно примерно в 20 раз больше количества циклов.

Большая часть кода используется совместно, единственное отличие - вычисления вниз / вверх, используемые НРС

вниз: $u_H:=0,\quad b_H:=I_h^H(b_h-L_hu_h)$

до: $u_h:=u_h+I_H^hu_H$

и ФАС использует

вниз:$u_H:=I_h^Hu_h,\quad b_H:=I_h^Hb_h+L_HI_h^Hu_h-I_h^HL_hu_h$

вверх:$u_h:=u_h+I_H^h(u_H-I_h^Hu_h)$

Мои тестовые настройки взяты из "Учебника по многосеточным сеткам, второе издание" Бригга, стр. 64, имеет аналитическое решение

$u(x,y)=(x^2-x^4)(y^4-y^2) \quad$ с$x,y\in [0,1]^2$

и уравнение с использованием типичной линейной 5-точечный трафарет в качестве оператора Лапласа- . Первоначальное предположение .$Lv=\Delta u=:b$$L$$v=0$

Изменение настройки теста, например, на тривиальное с использованием первоначального предположения приводит к почти одинаковым коэффициентам сходимости.$u(x,y)=0$$v=1$

Так как отличается только код «вниз / вверх», результаты НРС соответствуют книге, и, по крайней мере, FAS, похоже, тоже работает, я понятия не имею, почему он намного медленнее при той же линейной настройке.

В LDC и FAS есть одно странное поведение, которое я пока не могу объяснить, это происходит только в том случае, если первоначальное предположение неверно (например, но также и в моих полносеточных экспериментах, где интерполяция в новую точную сетку увеличивает остаток от до ): если я увеличу число посткорреспондентских релаксаций до очень большого числа, так что решение будет решено с точностью станка на грубой сетке, оно потеряет почти все цифры при переходе на один шаг вверх к следующей мелкой сетке.$=0$$10^{-15}$$10^{-1}$

Поскольку картинка говорит больше, чем слова:

// first cycle, levels 0-4
// DOWN
VCycle top 4, start               res_norm 3.676520e+02 // initial residual
VCycle top 4, cycle 0, current 4, res_norm 3.676520e+02
VCycle top 4, cycle 0, current 4, res_norm 1.520312e+02 // relaxed (2 iterations)
VCycle tau_norm 2.148001e+01 (DEBUG calculation)
VCycle top 4, cycle 0, current 3, res_norm 1.049619e+02 // restricted
VCycle top 4, cycle 0, current 3, res_norm 5.050392e+01 // relaxed (2 iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 2, res_norm 3.518764e+01 // restricted
VCycle top 4, cycle 0, current 2, res_norm 1.759372e+01 // relaxed (2 iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 1, res_norm 1.234398e+01 // restricted
VCycle top 4, cycle 0, current 1, res_norm 4.728777e+00 // relaxed (2 iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 0, res_norm 3.343750e+00 // restricted
// coarsest grid
VCycle top 4, cycle 0, current 0, res_norm 0.000000e+00 // solved
// UP
VCycle top 4, cycle 0, current 1, res_norm 3.738426e+00 // prolonged
VCycle top 4, cycle 0, current 1, res_norm 0.000000e+00 // relaxed (many iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 2, res_norm 1.509429e+01 // prolonged (loosing digits)
VCycle top 4, cycle 0, current 2, res_norm 2.512148e-15 // relaxed (many iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 3, res_norm 4.695979e+01 // prolonged (loosing digits)
VCycle top 4, cycle 0, current 3, res_norm 0.000000e+00 // relaxed (many iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 4, res_norm 1.469312e+02 // prolonged (loosing digits)
VCycle top 4, cycle 0, current 4, res_norm 9.172812e-24 // relaxed (many iterations)

Я не уверен, может ли быть получено только несколько цифр за цикл или это указывает на ошибку во время интерполяции в точную сетку. Если это последний случай, то как НРС может достичь остаточных коэффициентов на уровне книги ~ 0,03 при использовании всегда 2 релаксаций?

Я не знаю вашего ответа напрямую, так как я в основном использую FAS вместо коррекции, так как я делаю многосеточные для нелинейных задач, но некоторые мысли, которые вы можете посмотреть:

• Вы применяете схему линейной коррекции к линейной задаче, поэтому не удивительно, что она работает очень хорошо.

• Рассмотрите ваши граничные условия: убедитесь, что вы делаете их правильно, а также обратите внимание, что сложные BC могут выглядеть совершенно по-другому на грубой сетке, делая исправления там не столь полезными.

• Перепроверьте ваше обращение с исходным термином; Я помню, что что-то напортачило на стадии пролонгации, связанной с тем термином, когда я писал это для Пуассона.

• Я никогда не видел необходимости повторять сходимость на самой грубой сетке. Решение в этом случае зависит от того, является ли точный остаток сетки правильным, а это не так. Вы пытаетесь вытолкнуть эти ошибки из домена / сгладить их. Если вы полностью сошлись на самой грубой сетке на ранней итерации, ваше решение, естественно, довольно далеко от правильного решения с точной сеткой, потому что ваши остатки там не актуальны. Это почти наверняка причина того, почему вы видите, что остатки подпрыгивают на стадии пролонгации.

• Кроме того, попробуйте фактор релаксации для операторов ограничения и продолжения, скажем, 0,75.

Если это помогает, то именно так выглядела моя остаточная история FAS для проблемы Пуассона, использующей одиночную сетку через полные 7В циклы. Я полагаю, что коэффициент релаксации составлял 0,75, и я использовал трехступенчатую схему РК в качестве сглаживателя с одной итерацией на каждом уровне сетки.

Если вы используете вершинно-центрированную дискретизацию, тогда ограничение состояния должно быть инъекцией, а не полностью взвешенным остаточным ограничением, которое, по вашему мнению, вы используете. То есть заменить$I_h^H$ с $\hat I_h^H$при ограничении состояния. Использование полноценного ограничения для состояния приводит к наложению высокочастотных составляющих состояния, которые после применения$u^h \gets u^h (u^H - I_h^H u^h)$приводит к появлению нового шума в том же масштабе, что и до грубой коррекции (граничные условия особенно вероятны для этого эффекта). Используйте инъекцию,$\hat I_h^H u^h$и эта проблема должна уйти.

Спектрально, для ограничения состояния требуется только высокий вторичный порядок (точное сохранение низких частот), но первичный порядок (наложение высоких частот) не имеет значения. Инъекция имеет первичный порядок 0 и бесконечный вторичный порядок. Между тем остаточное ограничение должно быть как первичным, так и вторичным, чтобы быть положительным (по крайней мере). Смотрите раздел 4.3 многосеточного руководства Ачи Брандта .

При разработке методов MG также полезно смотреть на ошибки, а не на остатки, и убедиться, что вы правильно взвешиваете норму.

Я решил проблему сейчас. Я хранил$u_{old}^H=I_h^Hu^h$ при спуске во время V-цикла и использовать его позже в

$u^h\leftarrow u^h+I_H^h(u^H-I_h^Hu^h)=u^h+I_H^h(u^H-u_{old}^H)$,

Проблема была, прежде чем снова спуститься с $H$ в $2H$, $u_{old}^H$был расслаблен на месте . Хранение копии до шагов релаксации помогло. поскольку$u_{old}^H$ требовался только в ФАС, он не обнаруживался в линейных расчетах.