Как проблемы тесселяции Вороного и триангуляции Делоне сопряжены друг с другом?

Мне всегда говорили, что диаграмма Вороного является двойственной проблемой триангуляции Делоне. В каком смысле они могут быть двойниками друг друга? Я думал, что двойные задачи (т.е. в линейном программировании) должны давать один и тот же ответ. Очевидно, что две проблемы не имеют одинакового решения. Как мы можем считать их двойниками?

Простой ответ заключается в том, что они двойственны, потому что для каждой триангуляции Делоне существует одна и только одна соответствующая вороной тесселяция и наоборот. Это верно для большинства случаев, но есть случаи, когда соответствие не один к одному. Например, в случае, когда тесселяция вороной представляет собой правильную квадратную сетку.

И тесселяция вороного, и триангуляция Делоне нетривиальны для расчета для данного набора точек. Но как только вы нашли одну, другую легко найти.

$P$

$P$$R$$R_i$$P_i$$P$

Учитывая триангуляцию Делоне, просто соедините соседние треугольники с центрами окружности.

$P$$P$

Просто чтобы проиллюстрировать то, что говорят другие: синий цвет внизу - диаграмма Вороного, красный - двойная триангуляция Делоне. Они двойственны друг другу как геометрические плоские графы. Из диаграммы Вороного легко получить триангуляцию Делоне. Обратное направление не столь очевидно, но остается верным, что из триангуляции Делоне и некоторого вычисления вы можете вычислить диаграмму Вороного.
          
Я рассчитал эти диаграммы для 50 случайных точек в Mathematica, используя пакет ComputationalGeometry . Смотрите эту ссылку для моего кода.

${\bf P}$${\bf G}$$G_i$$P_i$$P_j \in {\bf P}, j \neq i$${\bf P}$

В некотором смысле это похоже на двойственность, существующую между треугольной и гексагональной решетками в статистической физике. Середины ячеек в равносторонней треугольной решетке, когда соединены, образуют шестиугольную решетку, и наоборот .

Однако следует отметить, что не все тесселяции Вороного являются двойственными триангуляций Делоне; эта связь, вероятно, действительна только для невзвешенных тесселяций Вороного. Для взвешенных методов тесселяции, в которых для определения краев используется нечто иное, чем евклидово расстояние, соответствие нарушается.

Чтобы развить комментарий Джеффа: триангуляция Делоне и диаграммы Вороного являются «объектами», а не «проблемами». Следовательно, говорить о «решениях» немного не так.

Двойственность находится между тессалациями и триангуляциями: чтобы перейти от триангуляции к тесселяции, вы формируете множество вершин Вороного в триангуляции. Чтобы перейти от тесселяции Вороного к триангуляции Делоне, вы соединяете «средние точки» двух ячеек, если они касаются друг друга.

Графы Вороного и Делоне называются двойственными по своим свойствам. Смотрите Dual Graph в Википедии.