Давление как множитель Лагранжа

В несжимаемых уравнениях Навье-Стокса термин давления часто упоминается как множитель Лагранжа, обеспечивающий условие несжимаемости.

\begin{aligned} ρ (u_{t} + (u \cdot \nabla) u) & = - \nabla p + μ Δ u + f \\ \nabla \cdot u & = 0 \end{aligned}

$\begin{align*} \rho\left(\mathbf{u}_t + (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u}\right) &= - \nabla p + \mu\Delta\mathbf{u} + \mathbf{f}\\ \nabla\cdot\mathbf{u} &= 0 \end{align*}$

В каком смысле это правда? Существует ли формулировка несжимаемых уравнений Навье-Стокса как задачи оптимизации с учетом ограничения на несжимаемость? Если да, есть ли числовой аналог, в котором уравнения потока несжимаемой жидкости решаются в рамках оптимизации?

— Бен
источник

Это легче всего увидеть, рассмотрев стационарные уравнения Стокса что эквивалентно задаче Если вы запишите лагранжиан, а затем условия оптимальности этой задачи оптимизации, вы обнаружите, что действительно давление является множителем Лагранжа.

- μ Δ u + \nabla p = f \nabla \cdot u = 0

$-\mu \Delta u + \nabla p = f \\ \nabla \cdot u = 0$

min_{u} \frac{μ}{2} ‖ \nabla u ‖^{2} - (f, u) so that \nabla \cdot u = 0.

$\min_u \frac\mu 2 \|\nabla u\|^2 - (f,u) \\ \text{so that} \; \nabla\cdot u = 0.$

Эта эквивалентность между задачами не используется ни в какой числовой схеме (которую я знаю), но она является важным инструментом в анализе, поскольку показывает, что уравнения Стокса по существу являются уравнением Пуассона на линейном подпространстве. То же самое верно для нестационарных уравнений Стокса (что соответствует уравнению теплопроводности в подпространстве) и может быть распространено на уравнения Навье-Стокса.

— Вольфганг Бангерт
источник

Спасибо за отличный ответ. Знаете ли вы, можно ли распространить эту формулировку на зависящий от времени случай?

— Бен

Да, как я уже сказал, это приводит к уравнению теплопроводности на подпространстве бездивергентных функций.

— Вольфганг Бангерт

Извините, мне следовало быть понятнее. Есть ли способ преобразовать зависящие от времени уравнения Стокса (или Навье-Стокса) в задачу оптимизации, возможно, функционала, интегрированного во времени?

— Бен

Это не проблема оптимизации - решение уравнения теплопроводности ничего не минимизирует (хотя это стационарная точка функции Лагранжа). Но вы можете сформулировать уравнения Стокса следующим образом: найдите чтобы для всех условии, что . Обратите внимание, что я выбрал тестовое пространство меньше, чем пробное пространство, поэтому левая и правая части уравнения в вариациях не будут равны. Разница в давлении.

u \in H_{div}

$u \in H_\text{div}$

(u_{t}, φ) + (\nabla u, \nabla φ) = (f, φ)

$(u_t,\varphi)+(\nabla u,\nabla\varphi)=(f,\varphi)$

φ \in {v \in H_{div} : \nabla \cdot v = 0}

$\varphi\in \{v\in H_\text{div}: \nabla \cdot v = 0\}$

\nabla \cdot u = 0

$\nabla \cdot u = 0$

— Вольфганг Бангерт