Может ли уравнение переноса с переменной скоростью быть консервативным?

Я пытаюсь понять уравнение адвекции с переменным коэффициентом скорости немного лучше. В частности, я не понимаю, как уравнение может быть консервативным.

Уравнение адвекции ,

$$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}(\boldsymbol{v}u) = 0$$

Давайте интерпретировать как концентрацию некоторых физических видов ( c m - 3 ) или некоторой другой физической величины, которая не может быть создана или уничтожена. Если мы интегрируем u ( x , t ) по нашей области, то мы должны получить константу,$u(x,t)$$cm^{-3}$$u(x,t)$

$$\int_{x_{\text{min}}}^{x_{\text{max}}} u(x,t) dx = \text{constant}$$

(Это то, что я имею в виду, будучи консерватором.)

Если теперь мы позволим скорости быть функцией пространства (и времени), , то необходимо применить правило цепи, чтобы$\boldsymbol{v}(x,t)$

$$\frac{\partial u}{\partial t} + \boldsymbol{v}\frac{\partial u}{\partial x} + \underbrace{u\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial x}}_{\text{?}} = 0$$

Последний термин «выглядит» как исходный термин, и это меня смущает. Он будет увеличивать или уменьшать величину зависимости от расходимости поля скоростей.$u$

Следуя этому вопросу , я понимаю, как наложить сохранение граничных условий. Однако для уравнения адвекции с переменной скоростью я не понимаю, как можно получить граничные условия сохранения из-за дополнительного «исходного члена», который вводится путем применения правила цепочки. Может ли это уравнение быть консервативным? Если да, то как можно применять правильные граничные условия?

$\mathbf v u$

$$\int_\Omega \nabla\cdot (\mathbf v u) = \int_{\partial \Omega} (\mathbf v u) \cdot \mathbf n .$$

$\Omega = (a,b)$$u_t + (\mathbf v u)_x = 0$

$$\Big(\int_a^b u\Big)_t = \int_a^b u_t = -\int_a^b (\mathbf v u)_x = -\mathbf v u |_a^b$$

где термин справа - это просто разность потоков между левой и правой границами.

$\mathbf v \cdot \nabla u$$\mathbf v$